Докажите, что основания перпендикуляров, опущенных из произвольной точки описанной окружности на стороны треугольника (или их продолжения), лежат на одной прямой (прямая Симсона.)

   Решение

Докажите, что никакая прямая не может пересечь все три стороны треугольника (в точках, отличных от вершин).

   Решение

Попугаи. Собрались три попугая — Гоша, Кеша и Рома. Один из них всегда говорит правду, другой всегда лжет, а третий — хитрец, он иногда говорит правду, иногда лжет. На вопрос: «Кто Кеша?» — попугаи ответили так: Гоша: — Кеша лжец. Кеша: — Я хитрец! Рома: — Он абсолютно честный попугай. Кто же из попугаев честный, кто лжец, а кто хитрец?

   Решение

Страница: << 215 216 217 218 219 220 221 >> [Всего задач: 1957]      

Даны двадцать карточек. Каждая из цифр от нуля до девяти включительно написана на двух из этих карточек (на каждой карточке – только одна цифра). Можно ли расположить эти карточки в ряд так, чтобы нули стояли рядом, между единицами лежала ровно одна карточка, между двойками – две, и так далее до девяток, между которыми должно быть девять карточек?

Прислать комментарий

Решение

Дан прямоугольный биллиард размером 26×1965 (сторона длины 1965 направлена слева направо, а сторона длины 26 – сверху вниз; лузы расположены в вершинах прямоугольника). Из нижней левой лузы под углом 45° к бортам выпускается шар. Доказать, что после нескольких отражений от бортов он упадет в верхнюю левую лузу. (Угол падения равен углу отражения.)

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что последние цифры чисел nⁿ (n – натуральное) образуют периодическую последовательность.

Прислать комментарий

Решение

В каждой клетке квадратной таблицы m×m клеток стоит либо натуральное число, либо нуль. При этом, если на пересечении строки и столбца стоит нуль, то сумма чисел в "кресте", состоящем из этой строки и этого столбца, не меньше m. Докажите, что сумма всех чисел в таблице не меньше чем  ½ m².

Прислать комментарий

Решение

Доказать, что те натуральные K, для которых  K^K + 1  делится на 30, образуют арифметическую прогрессию. Найти её.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 215 216 217 218 219 220 221 >> [Всего задач: 1957]