Страница: << 223 224 225 226 227 228 229 >> [Всего задач: 2003]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 78627

Темы:   [ Разложение в произведение транспозиций и циклов ] [ Процессы и операции ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Испанский король решил перевесить по-своему портреты своих предшественников в круглой башне замка. Однако он хочет, чтобы за один раз меняли местами только два портрета, висящие рядом, причём это не должны быть портреты двух королей, один из которых царствовал сразу после другого. Кроме того, ему важно лишь взаимное расположение портретов, и два расположения, отличающиеся поворотом круга, он считает одинаковыми. Доказать, что как бы сначала ни висели портреты, король может по этим правилам добиться любого нового их расположения.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78665

Темы:   [ Выигрышные и проигрышные позиции ] [ Деление с остатком ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Двое играют в следующую игру: имеется две кучи конфет. Играющие делают ход по очереди. Ход состоит в том, что играющий съедает одну из куч, а другую делит на две (равные или неравные) части. Если он не может разделить кучу, так как там всего одна конфета, то он её съедает и выигрывает. Вначале в кучах было 33 и 35 конфет. Кто выиграет, начинающий или его партнер, и как для этого надо играть?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78666

Темы:   [ Отношение эквивалентности. Классы эквивалентности ] [ Процессы и операции ] [ Четность и нечетность ] [ Теория групп (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Можно ли разбить все целые неотрицательные числа на 1968 непустых классов так, чтобы в каждом классе было хотя бы одно число и выполнялось бы следующее условие: если число m получается из числа n вычёркиванием двух рядом стоящих цифр или одинаковых групп цифр, то и m, и n принадлежат одному классу (например, числа 7, 9339337, 93223393447, 932239447 принадлежат одному классу)?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78705

Темы:   [ Целая и дробная части. Принцип Архимеда ] [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Существует ли такое число h, что ни для какого натурального числа n число  [h·1969ⁿ] не делится на [h·1969^n–1]?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78737

Темы:   [ Десятичная система счисления ] [ Делимость чисел. Общие свойства ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Дано 999-значное число. Известно, что если взять из него любые 50 последовательных цифр и вычеркнуть все остальные, то полученное число будет делиться на 2⁵⁰. (Оно может начинаться с нулей или просто быть нулём.) Доказать, что исходное число делится на 2⁹⁹⁹.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 223 224 225 226 227 228 229 >> [Всего задач: 2003]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями