Страница: << 28 29 30 31 32 33 34 >> [Всего задач: 2003]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 66558

Темы:   [ Теория чисел. Делимость (прочее) ] [ Индукция (прочее) ] [ Инварианты ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

Три богатыря сражаются со Змеем Горынычем. Илья Муромец каждым своим ударом отрубает половину всех голов и еще одну, Добрыня Никитич — треть всех голов и еще две, а Алёша Попович — четверть всех голов и еще три. Богатыри бьют по одному, в том порядке, в котором считают нужным. Если ни один богатырь не может ударить из-за того, что число голов получится нецелым, то Змей съедает богатырей. Смогут ли богатыри отрубить все головы $20^{20}$-головому Змею?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66562

Тема:   [ Многочлены (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 9,10,11

Приведите пример такого квадратного трехчлена $P(x)$, что при любом $x$ справедливо равенство $P(x)+P(x+1)+\dots + P(x+10)=x^2$.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66563

Тема:   [ Логика и теория множеств (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 6,7,8,9,10,11

Среди зрителей кинофестиваля было поровну мужчин и женщин. Всем зрителям понравилось одинаковое количество фильмов. Каждый фильм понравился восьми зрителям. Докажите, что не менее $3/7$ фильмов обладают следующим свойством: среди зрителей, которым фильм понравился, не менее двух мужчин.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66564

Темы:   [ Сумма внутренних и внешних углов многоугольника ] [ Вписанные и описанные многоугольники ]

Сложность: 3 Классы: 9,10,11

Существует ли вписанный в окружность $19$-угольник, у которого нет одинаковых по длине сторон, а все углы выражаются целым числом градусов?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66568

Тема:   [ Теория чисел. Делимость ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10,11

Приведите пример числа, делящегося на 2020, в котором каждая из десяти цифр встречается одинаковое количество раз.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 28 29 30 31 32 33 34 >> [Всего задач: 2003]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями