Страница: << 227 228 229 230 231 232 233 >> [Всего задач: 1854]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 98404

Темы:   [ Раскраски ] [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Шахматные доски и шахматные фигуры ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Назовём крокодилом шахматную фигуру, ход которой заключается в прыжке на m клеток по вертикали или по горизонтали, и потом на n клеток в перпендикулярном направлении. Докажите что для любых m и n можно так раскрасить бесконечную клетчатую доску в два цвета (для каждых конкретных m и n своя раскраска), что каждые две клетки, соединённые одним ходом крокодила, будут покрашены в разные цвета.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98408

Темы:   [ Правильные многоугольники ] [ Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.) ] [ Хорды и секущие (прочее) ] [ Две касательные, проведенные из одной точки ] [ Центральный угол. Длина дуги и длина окружности ] [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ]

Сложность: 4- Классы: 7,8,9

В правильном 25-угольнике проведены все диагонали. Докажите, что нет девяти диагоналей, проходящих через одну внутреннюю точку 25-угольника.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98418

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ] [ Тождественные преобразования ] [ Симметрические многочлены ] [ Линейная и полилинейная алгебра ]

Сложность: 4- Классы: 7,8,9

В таблицу записано девять чисел:

Известно, что шесть чисел – суммы строк и суммы столбцов таблицы – равны между собой: Докажите, что сумма произведений строк таблицы равна сумме произведений её столбцов:   a₁b₁c₁ + a₂b₂c₂ + a₃b₃c₃ = a₁a₂a₃ + b₁b₂b₃ + c₁c₂c₃.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98424

Темы:   [ Раскладки и разбиения ] [ Геометрические интерпретации в алгебре ] [ Подсчет двумя способами ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

На доске написано несколько целых положительных чисел: a₀, a₁, a₂, ... , a_n. Пишем на другой доске следующие числа: b₀ – сколько всего чисел на первой доске, b₁ – сколько там чисел, больших единицы, b₂ – сколько чисел, больших двойки, и т.д., пока получаются положительные числа. На этом заканчиваем – нули не пишем. На третьей доске пишем числа c₀, c₁, c₂, ... , построенные по числам второй доски по тому же правилу, по которому числа b₀, b₁, b₂, ... строились по числам первой доски. Докажите, что наборы чисел на первой и третьей досках совпадают.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98425

Темы:   [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Замощения костями домино и плитками ]

Сложность: 4- Классы: 6,7,8

На плоскости нарисован чёрный равносторонний треугольник. Имеется девять треугольных плиток того же размера и той же формы. Нужно положить их на плоскость так, чтобы они не перекрывались и чтобы каждая плитка покрывала хотя бы часть чёрного треугольника (хотя бы одну точку внутри него). Как это сделать?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 227 228 229 230 231 232 233 >> [Всего задач: 1854]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями