Страница: << 337 338 339 340 341 342 343 >> [Всего задач: 1854]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 115985

Темы:   [ Процессы и операции ] [ Повороты на $60^\circ$ и $120^\circ$ ] [ Поворот помогает решить задачу ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10,11

На бесцветной плоскости покрасили три произвольные точки: одну – в красный цвет, другую – в синий, третью –` в жёлтый. Каждым ходом выбирают на плоскости любые две точки двух из этих цветов и окрашивают еще одну точку в оставшийся цвет так, чтобы эти три точки образовали равносторонний треугольник, в котором цвета вершин идут в порядке "красный, синий, жёлтый" (по часовой стрелке). При этом разрешается красить и уже окрашенную точку плоскости (считаем, что точка может иметь одновременно несколько цветов). Докажите, что сколько бы ходов ни было сделано, все точки одного цвета будут лежать на одной прямой.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116007

Темы:   [ Процессы и операции ] [ Периодичность и непериодичность ] [ Принцип Дирихле (прочее) ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10

В школе решили провести турнир по настольному теннису между математическими и гуманитарными классами. Команда гуманитарных классов состоит из n человек, команда математических – из m, причём  n ≠ m.  Так как стол для игры всего один, было решено играть следующим образом. Сначала какие-то два ученика из разных команд начинают играть между собой, а все остальные участники выстраиваются в одну общую очередь. После каждой игры человек, стоящий в очереди первым, заменяет за столом члена своей команды, который становится в конец очереди. Докажите, что рано или поздно каждый математик сыграет с каждым гуманитарием.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116213

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ] [ Принцип Дирихле (прочее) ] [ Подсчет двумя способами ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ] [ Доказательство от противного ] [ Принцип крайнего (прочее) ]

Сложность: 4+ Классы: 7,8,9

В каждой клетке квадратной таблицы написано по числу. Известно, что в каждой строке таблицы сумма двух наибольших чисел равна a,
а в каждом столбце сумма двух наибольших чисел равна b. Докажите, что  a = b.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116396

Темы:   [ Арифметика остатков (прочее) ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 4+ Классы: 10,11

Докажите, что при  n > 1  число   1¹ + 3³ + ... + (2ⁿ – 1)^{2n – 1}   делится на 2ⁿ, но не делится на 2ⁿ⁺¹.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116402

Темы:   [ Произведения и факториалы ] [ Индукция (прочее) ] [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ] [ Многочлены (прочее) ] [ Комплексные числа помогают решить задачу ] [ Линейная и полилинейная алгебра ]

Сложность: 4+ Классы: 10,11

Обозначим через [n]! произведение 1·11·111·...·11...11 – всего n сомножителей, в последнем – n единиц.
Докажите, что  [n + m]!  делится на произведение [n]!·[m]!.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 337 338 339 340 341 342 343 >> [Всего задач: 1854]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями