Версия для печати
Убрать все задачи

---

Замок Мерлина состоит из 100 комнат и 1000 коридоров. Каждый коридор соединяет какие-то две комнаты, каждые две комнаты соединены не более чем одним коридором. Мерлин выдал мудрецам план замка и объявил испытание. Мудрецы должны будут распределиться по комнатам, как хотят. Далее каждую минуту Мерлин указывает коридор, и один из мудрецов переходит по нему из комнаты на любом его конце в комнату на другом его конце. Мерлин победит, если когда-то укажет коридор, на концах которого нет мудрецов.
Число $m$ назовём волшебным числом замка, если $m$ мудрецов могут, сговорившись перед испытанием, действовать так, чтобы никогда не проиграть, причём $m$ — минимальное такое число. Чему может равняться волшебное число замка? (Все, включая Мерлина, всегда знают расположение всех мудрецов.)

   Решение

Страница: << 351 352 353 354 355 356 357 >> [Всего задач: 1854]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 66590

Темы:   [ Деление с остатком ] [ Алгоритм Евклида ]

Сложность: 5 Классы: 9,10,11

Пусть $p$ и $q$ – взаимно простые натуральные числа. Лягушка прыгает по числовой прямой, начиная в точке $0$, каждый раз либо на $p$ вправо, либо на $q$ влево. Однажды лягушка вернулась в $0$. Докажите, что для любого натурального $d < p + q$ найдутся два числа, посещенные лягушкой и отличающиеся на $d$.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66733

Темы:   [ Малые шевеления ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 5 Классы: 8,9,10,11

На числовой оси отмечено бесконечно много точек с натуральными координатами. Когда по оси катится колесо, каждая отмеченная точка, по которой проехало колесо, оставляет на нём точечный след. Докажите, что можно выбрать такое действительное $R$, что если прокатить по оси, начиная из нуля, колесо радиуса $R$, то на каждой дуге колеса величиной в $1^\circ$ будет след хотя бы одной отмеченной точки.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66734

Темы:   [ Теория алгоритмов (прочее) ] [ Теория игр (прочее) ]

Сложность: 5 Классы: 8,9,10,11

Рокфеллер и Маркс играют в такую игру. Имеется  $n > 1$  городов, во всех одно и то же число жителей. Сначала у каждого жителя есть ровно одна монета (монеты одинаковы). За ход Рокфеллер выбирает по одному жителю из каждого города, а Маркс перераспределяет между ними их деньги произвольным образом с единственным условием, чтобы распределение не осталось таким, каким только что было. Рокфеллер выиграет, если в какой-то момент в каждом городе будет хотя бы один человек без денег. Докажите, что Рокфеллер может действовать так, чтобы всегда выигрывать, как бы ни играл Маркс, если в каждом городе
  а) ровно $2n$ жителей;
  б) ровно  $2n - 1$  житель.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66876

Темы:   [ Четность и нечетность ] [ Теория чисел. Делимость (прочее) ]

Сложность: 5 Классы: 8,9,10,11

Назовём пару различных натуральных чисел удачной, если их среднее арифметическое (полусумма) и среднее геометрическое (квадратный корень из произведения) — натуральные числа. Верно ли, что для каждой удачной пары найдётся другая удачная пара с тем же средним арифметическим? (Пояснение: пары $(a,b)$ и $(b,a)$ считаются одинаковыми.)

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66877

Тема:   [ Теория игр (прочее) ]

Сложность: 5 Классы: 8,9,10,11

Петя и Вася играют в такую игру. Каждым ходом Петя называет какое-то целое число, а Вася записывает на доску либо названное число, либо сумму этого числа и всех ранее написанных чисел. Всегда ли Петя сможет добиться того, чтобы в какой-то момент на доске среди написанных чисел было
а) хотя бы сто чисел 5;
б) хотя бы сто чисел 10?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 351 352 353 354 355 356 357 >> [Всего задач: 1854]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями