Версия для печати
Убрать все задачи

---

На новом сайте зарегистрировалось 2000 человек. Каждый пригласил к себе в друзья по 1000 человек. Два человека объявляются друзьями тогда и только тогда, когда каждый из них пригласил другого в друзья. Какое наименьшее количество пар друзей могло образоваться?

   Решение

---

В правильном 25-угольнике проведены все диагонали. Докажите, что нет девяти диагоналей, проходящих через одну внутреннюю точку 25-угольника.

   Решение

Страница: << 58 59 60 61 62 63 64 >> [Всего задач: 1854]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 108035

Тема:   [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Длины сторон остроугольного треугольника – последовательные целые числа.
Докажите, что высота, опущенная на среднюю по величине сторону, делит её на отрезки, разность длин которых равна 4.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108040

Темы:   [ Касающиеся окружности ] [ Общая касательная к двум окружностям ] [ Подобные треугольники (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Даны две окружности, лежащие одна вне другой. Пусть A₁ и A₂ – наиболее удалённые друг от друга точки пересечения этих окружностей с их линией центров, так что A₁ лежит на первой окружности, а A₂ – на второй. Из точки A₁ проведены два луча, касающиеся второй окружности, и построен круг K₁, касающийся этих лучей и первой окружности изнутри. Из точки A₂ проведены два луча, касающиеся первой окружности, и построен круг K₂, касающийся этих лучей и второй окружности изнутри. Докажите, что круги K₁ и K₂ равны.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108048

Темы:   [ Касающиеся окружности ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Каждая из трёх окружностей радиусов соответственно 1, r и r извне касается двух других.
При каких значениях r существует треугольник, описанный около этих окружностей?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108051

Темы:   [ Вписанные и описанные многоугольники ] [ Пятиугольники ] [ Три точки, лежащие на одной прямой ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

В описанном пятиугольнике ABCDE диагонали AD и CE пересекаются в центре O вписанной окружности.
Докажите, что отрезок BO и сторона DE перпендикулярны.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108053

Темы:   [ Касающиеся окружности ] [ Общая касательная к двум окружностям ] [ Средняя линия трапеции ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Внутри угла расположены две окружности с центрами A и B. Они касаются друг друга и двух сторон угла.
Докажите, что окружность с диаметром AB касается сторон угла.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 58 59 60 61 62 63 64 >> [Всего задач: 1854]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями