Версия для печати
Убрать все задачи

---

Капитан Врунгель в своей каюте разложил перетасованную колоду из 52 карт по кругу, оставив одно место свободным. Матрос Фукс с палубы, не отходя от штурвала и не зная начальной раскладки, называет карту. Если эта карта лежит рядом со свободным местом, Врунгель её туда передвигает, не сообщая Фуксу. Иначе ничего не происходит. Потом Фукс называет еще одну карту, и так сколько угодно раз, пока он не скажет “стоп”. Может ли Фукс добиться того, чтобы после слова "стоп"
  а) каждая карта наверняка оказалась не там, где была вначале?
  б) рядом со свободным местом наверняка не было туза пик?

   Решение

---

Пусть  f(x) – некоторый многочлен ненулевой степени.
Может ли оказаться, что уравнение  f(x) = a  при любом значении a имеет чётное число решений?

   Решение

---

В выпуклом 2002-угольнике провели несколько диагоналей, не пересекающихся внутри 2002-угольника. В результате 2002-угольник разделился на 2000 треугольников. Могло ли случиться, что ровно у половины этих треугольников все стороны являются диагоналями этого 2002-угольника?

   Решение

---

К плоскости приклеены два непересекающихся не обязательно одинаковых деревянных круга – серый и чёрный. Дан бесконечный деревянный угол, одна сторона которого серая, а другая – чёрная. Его передвигают так, чтобы круги были снаружи угла, причём серая сторона касалась серого круга, а чёрная – чёрного (касание происходит не в вершине). Докажите, что внутри угла можно нарисовать луч, выходящий из вершины, так, чтобы при всевозможных положениях угла этот луч проходил через одну и ту же точку плоскости.

   Решение

Страница: << 11 12 13 14 15 16 17 >> [Всего задач: 1854]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 111358

Темы:   [ Тождественные преобразования ] [ Процессы и операции ]

Сложность: 3- Классы: 8,9

На бумажке записаны 1 и некоторое нецелое число x. За один ход разрешается записать на бумажку сумму или разность каких-нибудь двух уже записанных чисел или записать число, обратное к какому-нибудь из уже записанных чисел. Можно ли за несколько ходов получить на бумажке
число x²?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116263

Темы:   [ Четность и нечетность ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 3- Классы: 8,9

По кругу написаны все целые числа от 1 по 2010 в таком порядке, что при движении по часовой стрелке числа поочередно то возрастают, то убывают.
Докажите, что разность каких-то двух чисел, стоящих рядом, чётна.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116375

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Свойства серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. ] [ Свойства биссектрис, конкуррентность ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]

Сложность: 3- Классы: 8,9

На наибольшей стороне AB треугольника ABC взяли такие точки P и Q, что  AQ = AC,  BP = BC.
Докажите, что центр описанной окружности треугольника PQC совпадает с центром вписанной окружности треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116385

Темы:   [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Теория алгоритмов (прочее) ]

Сложность: 3- Классы: 8,9

Саша пишет на доске последовательность натуральных чисел. Первое число  N > 1  написано заранее. Новые натуральные числа он получает так: вычитает из последнего записанного числа или прибавляет к нему любой его делитель, больший 1. При любом ли натуральном  N > 1  Саша сможет написать на доске в какой-то момент число 2011?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116411

Темы:   [ Арифметика остатков (прочее) ] [ Арифметика. Устный счет и т.п. ]

Сложность: 3- Классы: 9,10,11

Из Южной Америки в Россию 2010 кораблей везут бананы, лимоны и ананасы. Число бананов на каждом корабле равно числу лимонов на остальных кораблях вместе взятых, а число лимонов на каждом корабле равно числу ананасов на остальных кораблях вместе взятых. Докажите, что общее число фруктов делится на 31.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 11 12 13 14 15 16 17 >> [Всего задач: 1854]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями