Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1353 1354 1355 1356 1357 1358 1359 >> [Всего задач: 8157]

Задача 116904

Темы:	[	Три прямые, пересекающиеся в одной точке	]
	[	Свойства симметрий и осей симметрии	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Центральная симметрия помогает решить задачу	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Авторы: Швецов Д.В., Заславский А.А.

Через вершины A, B, C треугольника ABC проведены три параллельные прямые, пересекающие вторично его описанную окружность в точках A₁, B₁, C₁ соответственно. Точки A₂, B₂, C₂ симметричны точкам A₁, B₁, C₁ относительно сторон BC, CA, AB соответственно. Докажите, что прямые AA₂, BB₂, CC₂ пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

Задача 116905

Темы:	[	Построение треугольников по различным точкам	]
	[	Построения с помощью вычислений	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Отношение, в котором биссектриса делит сторону	]
	[	Формула Герона	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Автор: Протасов В.Ю.

В треугольнике ABC провели биссектрису CL. В треугольники CAL и CBL вписали окружности, которые касаются прямой AB в точках M и N соответственно. Затем все, кроме точек A, L, M и N, стерли. С помощью циркуля и линейки восстановите треугольник.

Прислать комментарий

Решение

Задача 116912

Темы:	[	Замечательные точки и линии в треугольнике (прочее)	]
	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]

Сложность: 4
Классы: 9,10

Авторы: Заславский А.А., Френкин Б.Р.

Точку внутри треугольника назовём хорошей, если длины проходящих через неё чевиан обратно пропорциональны длинам соответствующих сторон. Найдите все треугольники, для которых число хороших точек – максимально возможное.

Прислать комментарий

Решение

Задача 116917

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Точка Лемуана	]
	[	Три точки, лежащие на одной прямой	]
	[	Подобные треугольники (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 9,10

Автор: Ивлев Ф.

Дан треугольник ABC. Касательная в точке C к его описанной окружности пересекает прямую AB в точке D. Касательные к описанной окружности треугольника ACD в точках A и C пересекаются в точке K. Докажите, что прямая DK делит отрезок BC пополам.

Прислать комментарий

Решение

Задача 116937

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Серединный перпендикуляр к отрезку (ГМТ)	]
	[	Угол между касательной и хордой	]
	[	Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть	]
	[	Радикальная ось	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Автор: Емельянов Л.А.

Серединный перпендикуляр к стороне AC неравнобедренного остроугольного треугольника ABC пересекает прямые AB и BC в точках B₁ и B₂ соответственно, а серединный перпендикуляр к стороне AB пересекает прямые AC и BC в точках C₁ и C₂ соответственно. Описанные окружности треугольников BB₁B₂ и CC₁C₂ пересекаются в точках P и Q. Докажите, что центр описанной окружности треугольника ABC лежит на прямой PQ.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1353 1354 1355 1356 1357 1358 1359 >> [Всего задач: 8157]