соревнования:
-
Московская математическая олимпиада
(2003 задачи)
Турнир городов
(1854 задачи)
Турнир им.Ломоносова
(372 задачи)
Математический праздник
(404 задачи)
Турнир журнала "Квант"
(8 задач)
Белорусские республиканские математические олимпиады
(132 задачи)
Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
(915 задач)
Московская устная олимпиада по геометрии
(185 задач)
Московская математическая регата
(557 задач)
Московская устная олимпиада для 6-7 классов
(188 задач)
Окружная олимпиада (Москва)
(416 задач)
Всероссийская олимпиада по математике
(1125 задач)
Международная Математическая Олимпиада
(16 задач)
Олимпиада имени Леонарда Эйлера (для 8 классов)
(48 задач)
Заочная олимпиада по теории вероятностей и статистике
(150 задач)
Фильтр
Задачи
Страница: << 1475 1476 1477 1478 1479 1480 1481 >> [Всего задач: 8157]
Для каждой пары действительных чисел a и b рассмотрим последовательность
чисел
pn = [2{an + b}]. Любые k подряд идущих членов этой
последовательности назовем словом. Верно ли, что любой упорядоченный набор из
нулей и единиц длины k будет словом последовательности, заданной некоторыми
a и b при k = 4; при k = 5?
Пусть M – точка пересечения медиан треугольника ABC .
На перпендикулярах, опущенных из M на стороны BC , AC и
AB , взяты точки A1 , B1 и C1 соответственно,
причём A1B1 
MC и A1C1 MB .
Докажите, что точка M является точкой пересечения медиан и
в треугольнике A1B1C1 .
Пусть $l_a$, $l_b$ и $l_c$ – длины биссектрис углов $A$, $B$ и $C$ треугольника $ABC$, а $m_a$, $m_b$ и $m_c$ – длины соответствующих медиан. Докажите, что
$$ \frac{l_a}{m_a} + \frac{l_b}{m_b} +\frac{l_c}{m_c} > 1.$$
Радиус описанной окружности треугольника ABC равен радиусу окружности,
касающейся стороны AB в точке C' и продолжений двух других сторон в точках
A' и B' . Докажите, что центр описанной окружности треугольника ABC
совпадает с ортоцентром (точкой пересечения высот) треугольника A'B'C' .
ABCD – выпуклый четырёхугольник. Окружности, построенные
на отрезках AB и CD как на диаметрах, касаются внешним образом
в точке M , отличной от точки пересечения диагоналей четырёхугольника.
Окружность, проходящая через точки A , M и C , вторично пересекает
прямую, соединяющую точку M и середину AB в точке K , а окружность,
проходящая через точки B , M и D , вторично пересекает ту же прямую
в точке L . Докажите, что |MK-ML| = |AB-CD| .
Страница: << 1475 1476 1477 1478 1479 1480 1481 >> [Всего задач: 8157]
Задача 107992 |
|
Примечание: [c] - целая часть, {c} - дробная часть числа c.
|
|
|
Решение |
Задача 108095 |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 108104 |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 108111 |
|
|
|
|
Решение |
Задача 108133 |
|
|
|
|
Решение |
Страница: << 1475 1476 1477 1478 1479 1480 1481 >> [Всего задач: 8157]
