Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1553 1554 1555 1556 1557 1558 1559 >> [Всего задач: 8157]

Задача 67495

Темы:	[	Касающиеся окружности	]
	[	Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих	]
	[	Гомотетия помогает решить задачу	]

Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Автор: Кожевников П.А.

Дана окружность $\omega_1$, а внутри неё — окружность $\omega_2$. Выбирают произвольную окружность $\omega_3$, которая касается двух предыдущих, причём оба касания внутренние. Точки касания соединяют отрезком, а через точку пересечения этого отрезка с окружностью $\omega_2$ проводят касательную к $\omega_2$ и получают хорду окружности $\omega_3$. Докажите, что концы всех таких хорд (полученных при всевозможных выборах окружности $\omega_3$) лежат на фиксированной окружности.

Прислать комментарий

Решение

Задача 67516

Темы:	[	Геометрия на клетчатой бумаге	]
	[	Теория игр (прочее)	]
	[	Раскраски	]
	[	Оценка + пример	]

Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Автор: Грибалко А.В.

Петя красит каждую клетку доски $2m\times 2n$ в чёрный или белый цвет так, чтобы клетки каждого цвета образовывали многоугольник. Затем Вася разрезает доску на доминошки (прямоугольники из двух клеток). Петя стремится к тому, чтобы в итоге получилось как можно больше двухцветных доминошек, а Вася — к тому, чтобы их получилось как можно меньше. Наличие какого наибольшего числа двухцветных доминошек может гарантировать Петя, как бы ни действовал Вася?
(Напомним, что граница многоугольника — замкнутая ломаная без самопересечений.)

Прислать комментарий Решение

Задача 67518

Темы:	[	Уравнения в целых числах	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]
	[	Четность и нечетность	]

Сложность: 5
Классы: 8,9,10,11

Авторы: Френкин Б.Р., Кожевников П.А.

Дано натуральное число $n$. Натуральное число $m$ назовём удачным, если найдутся $m$ последовательных натуральных чисел, сумма которых равна сумме $n$ следующих за ними натуральных чисел. Докажите, что количество удачных чисел нечётно.

Прислать комментарий Решение

Задача 67529

Темы:	[	Проективная геометрия (прочее)	]
Темы:	[	Три прямые, пересекающиеся в одной точке	]

Сложность: 5
Классы: 8,9,10,11

Автор: Щербатов Я.

Точки $I$, $I_a$ являются центром вписанной и $A$-вневписанной окружности треугольника $ABC$; вписанная окружность касается сторон $AC$, $AB$ в точках $E$, $F$; $G$ – точка пересечения $BE$ и $CF$. Перпендикуляр к $BC$, проходящий через точку $G$, пересекает $AI$ в точке $J$. Докажите, что $E$, $F$, $J$, $I_a$ лежат на одной окружности.

Прислать комментарий Решение

Задача 67544

Темы:	[	Кривые второго порядка	]
	[	Построения с помощью вычислений	]
	[	Проективная геометрия (прочее)	]
	[	Теорема косинусов	]

Сложность: 5
Классы: 10,11

Автор: Заславский А.А.

Даны окружность и лежащий внутри нее эллипс с фокусами $F_1$, $F_2$. Постройте хорду окружности $AB$, касающуюся эллипса и такую, что четырехугольник $AF_1F_2B$ – вписанный.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 1553 1554 1555 1556 1557 1558 1559 >> [Всего задач: 8157]