Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1362 1363 1364 1365 1366 1367 1368 >> [Всего задач: 7526]

Задача 111615

Темы:	[	Теорема синусов	]
Темы:	[	Теоремы Чевы и Менелая	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

На сторонах BC , CA , AB треугольника ABC взяты точки A1 , B1 , C1 соответственно. Докажите, что

· · = · · .

Прислать комментарий

Решение

Задача 111617

Темы:	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
Темы:	[	Симметрия помогает решить задачу	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Через точку пересечения высот остроугольного треугольника ABC проходят три окружности, каждая из которых касается одной из сторон треугольника в основании высоты. Докажите, что вторые точки пересечения окружностей являются вершинами треугольника, подобного исходному.

Прислать комментарий Решение

Задача 111620

Темы:	[	Гомотетия помогает решить задачу	]
Темы:	[	Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Окружность σ касается равных сторон AB и AC равнобедренного треугольника ABC и пересекает сторону BC в точках K и L . Отрезок AK пересекает σ второй раз в точке M . Точки P и Q симметричны точке K относительно точек B и C соответственно. Докажите, что описанная окружность треугольника PMQ касается окружности σ .

Прислать комментарий Решение

Задача 111622

Темы:	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]
	[	Вспомогательные равные треугольники	]
	[	Углы между биссектрисами	]
	[	Вспомогательная окружность	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Биссектрисы BB₁ и CC₁ треугольника ABC пересекаются в точке I. Прямая B₁C₁ пересекает описанную окружность треугольника ABC в точках M и N. Докажите, что радиус описанной окружности треугольника MIN вдвое больше радиуса описанной окружности треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

Задача 111623

Темы:	[	Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле.	]
	[	Вспомогательные подобные треугольники	]
	[	Правильные многоугольники	]
	[	Теоремы Чевы и Менелая	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

В четырёхугольнике ABCD известно, что AB = BC, ∠A = ∠B = 20°, ∠C = 30°. Продолжение стороны AD пересекает BC в точке M, а продолжение стороны CD пересекает AB в точке N. Найдите угол AMN.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1362 1363 1364 1365 1366 1367 1368 >> [Всего задач: 7526]