Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 177 178 179 180 181 182 183 >> [Всего задач: 915]

Задача 110781

Темы:	[	Три прямые, пересекающиеся в одной точке	]
	[	Свойства медиан. Центр тяжести треугольника.	]
	[	Окружность, вписанная в угол	]
	[	Свойства симметрий и осей симметрии	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Изогональное сопряжение	]

Сложность: 5+
Классы: 10

Автор: Заславский А.А.

Прямые, содержащие медианы треугольника ABC, вторично пересекают его описанную окружность в точках A₁, B₁, C₁. Прямые, проходящие через A, B, C и параллельные противоположным сторонам, пересекают ее же в точках A₂, B₂, C₂. Докажите, что прямые A₁A₂, B₁B₂, C₁C₂ пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

Задача 111726

Темы:	[	Ортогональная (прямоугольная) проекция	]
	[	Вспомогательные подобные треугольники	]
	[	Свойства серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.	]
	[	Упорядочивание по возрастанию (убыванию)	]
	[	Неравенства для элементов треугольника (прочее)	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]
	[	Применение тригонометрических формул (геометрия)	]
	[	Возрастание и убывание. Исследование функций	]
	[	Доказательство от противного	]

Сложность: 5+
Классы: 8,9,10,11

В треугольнике провели серединные перпендикуляры к его сторонам и измерили их отрезки, лежащие внутри треугольника.
а) Все три отрезка оказались равны. Верно ли, что треугольник равносторонний?
б) Два отрезка оказались равны. Верно ли, что треугольник равнобедренный?
в) Могут ли длины отрезков равняться 4, 4 и 3?

Прислать комментарий

Решение

Задача 67222

Темы:	[	Точка Нагеля. Прямая Нагеля	]
	[	Общая касательная к двум окружностям	]
	[	Гомотетия помогает решить задачу	]

Сложность: 5+
Классы: 8,9,10,11

Автор: Шатунов Л.

Общая внешняя касательная к окружностям $\omega_1$ и $\omega_2$ касается их в точках $T_1$, $T_2$ соответственно. Пусть $A$ – произвольная точка на продолжении отрезка $T_1T_2$ за точку $T_1$, а $B$ – точка на продолжении отрезка $T_1T_2$ за точку $T_2$ такая, что $AT_1=BT_2$. Отличные от прямой $T_1T_2$ касательные из $A$ к $\omega_1$ и из $B$ к $\omega_2$ пересекаются в точке $C$. Докажите, что нагелианы всех треугольников $ABC$ из вершины $C$ проходят через одну точку.

Прислать комментарий Решение

Задача 67225

Темы:	[	Изогональное сопряжение	]
	[	Проективная геометрия (прочее)	]
	[	Вспомогательные подобные треугольники	]
	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]

Сложность: 5+
Классы: 9,10,11

Автор: Шевцов А.

В треугольнике $ABC$ проведена медиана $AM$ и на ней выбрана точка $D$. Касательные, проведенные к описанной окружности треугольника $BDC$ в точках $B$ и $C$, пересекаются в точке $K$. Докажите, что $DD'$ параллельно $AK$, где $D'$ – точка, изогонально сопряжённая точке $D$ относительно треугольника $ABC$.

Прислать комментарий Решение

Задача 67560

Тема:

[

Применение проективных преобразований, сохраняющих окружность

]

Сложность: 6-
Классы: 9,10,11

Автор: Бродский Д.Ю.

Треугольник $ABC$ вписан в окружность $\omega$. Касательные к $\omega$, проведенные в точках $B$ и $C$, пересекаются в точке $S$. Отрезки $AS$ и $BC$ пересекаются в точке $P$. Биссектрисы (как лучи) углов $APC$ и $SPC$ пересекают $\omega$ в точках $X$ и $Y$. Докажите, что точки $X$, $Y$ и $S$ лежат на одной прямой.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 177 178 179 180 181 182 183 >> [Всего задач: 915]