Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 177 178 179 180 181 182 183 >> [Всего задач: 915]

Задача 67217

Темы:	[	Вписанный четырехугольник с перпендикулярными диагоналями	]
Темы:	[	Планиметрия (прочее)	]

Сложность: 6
Классы: 8,9,10,11

Авторы: Рябов П., Заславский А.А.

В треугольнике $ABC$ с тупым углом $B$ отмечены такие точки $P$ и $Q$ на $AC$, что $AP=PB$, $BQ=QC$. Окружность $BPQ$ пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $N$ и $M$ соответственно.

а) (П.Рябов) Докажите, что точка $R$ пересечения $PM$ и $NQ$ равноудалена от $A$ и $C$.

б) (А.Заславский) Пусть $BR$ пересекает $AC$ в точке $S$. Докажите, что $MN\perp OS$, где $O$ – центр описанной окружности треугольника $ABC$.

Прислать комментарий Решение

Задача 67241

Темы:	[	Прямая Гаусса	]
	[	Аффинная геометрия (прочее)	]
	[	Радикальная ось	]

Сложность: 6
Классы: 9,10,11

Автор: Галяпин Г.

В треугольнике $ABC$ вписанная окружность $\omega$ с центром $I$ касается $BC$ в точке $D$. Точка $P$ – проекция ортоцентра треугольника $ABC$ на медиану из вершины $A$. Докажите, что окружности $AIP$ и $\omega$ высекают на $AD$ равные отрезки

Прислать комментарий Решение

Задача 67249

Темы:	[	ГМТ - прямая или отрезок	]
	[	Изогональное сопряжение	]
	[	Инверсия помогает решить задачу	]
	[	Гомотетия помогает решить задачу	]
	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]

Сложность: 6
Классы: 10,11

Авторы: Бродский Д.Ю., Заславский А.А., Reznik D.

Пусть $ABC$ – треугольник Понселе, точка $A_1$ симметрична $A$ относительно центра вписанной окружности $I$, точка $A_2$ изогонально сопряжена $A_1$ относительно $ABC$. Найдите ГМТ $A_2$.

Прислать комментарий Решение

Задача 67558

Темы:	[	Теорема Паскаля	]
	[	Изогональное сопряжение	]
	[	Прямая Эйлера и окружность девяти точек	]
	[	Подерный (педальный) треугольник	]
	[	Гомотетия помогает решить задачу	]

Сложность: 6
Классы: 9,10,11

Автор: Волокитин Е.

Во вписанном четырехугольнике $ABCD$ через ортоцентр $H$ треугольника $ABC$ проведены прямые, параллельные $BD$ и $CD$ и пересекающие $AC$ и $AB$ соответственно в точках $E$ и $F$. Докажите, что прямая $EF$ делит отрезок $DH$ пополам.

Прислать комментарий Решение

Задача 67566

Темы:	[	Инверсия (прочее)	]
	[	Проективная геометрия (прочее)	]
	[	Точка Лемуана	]
	[	Точка Торричелли	]
	[	Кривые второго порядка	]

Сложность: 6
Классы: 9,10,11

Автор: Кузнецов С.

В треугольнике $ABC$ отмечены центроид $M$, ортоцентр $H$ и точка Лемуана $L$. Точка $S$ такова, что окружности $SLH$, $SML$ касаются $MH$, а $L'$ инверсна $L$ относительно описанной окружности. Докажите, что $SL'\parallel MH$.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 177 178 179 180 181 182 183 >> [Всего задач: 915]