Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 52]      

К Ивану на день рождения пришли 2$N$ гостей. У Ивана есть $N$ чёрных и $N$ белых цилиндров. Он хочет устроить бал: надеть на гостей цилиндры и выстроить их в хороводы (один или несколько) так, чтобы в каждом хороводе было хотя бы два человека и люди в цилиндрах одного цвета не стояли в хороводе рядом. Докажите, что Иван может устроить бал ровно $(2N)!$ различными способами. (Цилиндры одного цвета неразличимы; все гости различимы.)

Прислать комментарий

Решение

Дан вписанный четырёхугольник $ABCD$. Окружности с диаметрами $AB$ и $CD$ пересекаются в двух точках $X_{1}$ и $Y_{1}$. Окружности с диаметрами $ВС$ и $АD$ пересекаются в двух точках $X_{2}$ и $Y_{2}$. Окружности с диаметрами $AС$ и $ВD$ пересекаются в двух точках $X_{3}$ и $Y_{3}$. Докажите, что прямые $X_{1}Y_{1}, X_{2}Y_{2}, X_{3}Y_{3}$ пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

Первая производная бесконечной последовательности $a_1, a_2$, ... – это последовательность  $a'_n = a_{n+1} - a_n$  (где  $n$ = 1, 2, ...), а её k-я производная – это первая производная её ($k$–1)-й производной
($k$ = 2, 3, ...).  Назовём последовательность хорошей, если она и все её производные состоят из положительных чисел. Докажите, что если $a_1, a_2$, ... и $b_1, b_2$, ... – хорошие последовательности, то и $a_1b_1, a_2b_2$, ... – хорошая последовательность.

Прислать комментарий

Решение

Есть 100 внешне неразличимых монет трёх типов: золотые, серебряные и медные (каждый тип встречается хотя бы раз). Известно, что золотые весят по 3 г, серебряные – по 2 г, медные – по 1 г.
Как на чашечных весах без гирек определить тип у всех монет не более чем за 101 взвешивание?

Прислать комментарий

Решение

Назовём пару  ($m, n$)  различных натуральных чисел $m$ и n хорошей, если $mn$ и  $(m + 1)(n + 1)$  – точные квадраты. Докажите, что для каждого натурального $m$ существует хотя бы одно такое  $n > m$,  что пара  ($m, n$)  хорошая.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 52]