Страница:
<< 5 6 7 8
9 10 11 >> [Всего задач: 52]
|
|
Сложность: 5 Классы: 8,10,11
|
Из центра O описанной окружности треугольника ABC опустили перпендикуляры OP и OQ на биссектрисы внутреннего и внешнего углов при вершине B.
Докажите, что прямая PQ делит пополам отрезок, соединяющий середины сторон CB и AB.
|
|
Сложность: 5 Классы: 8,9,10,11
|
Назовём пару (m, n) различных натуральных чисел m и n
хорошей, если mn и (m+1)(n+1) – точные квадраты.
Докажите, что для каждого натурального m существует хотя бы одно такое n>m, что пара (m, n) хорошая.
|
|
Сложность: 5 Классы: 8,9,10,11
|
У Пети было несколько сторублёвок, других денег не было.
Петя стал покупать книги
(каждая книга стоит целое число рублей) и получать сдачу мелочью
(монетами в 1 рубль).
При покупке
дорогой книги
(не дешевле 100 рублей) Петя расплачивался только сторублёвками
(минимальным необходимым их количеством), а при покупке
дешёвой
(дешевле 100 рублей) расплачивался мелочью, если хватало, а если не хватало – сторублёвкой.
К моменту, когда сторублёвок не осталось, Петя потратил на книги ровно половину своих денег.
Мог ли Петя потратить на книги хотя бы 5000 рублей?
|
|
Сложность: 5 Классы: 8,9,10,11
|
Для каких N можно расставить в клетках квадрата $N\times N$ действительные числа так, чтобы среди всевозможных сумм чисел на парах соседних по стороне клеток встречались все целые числа от 1 до 2(N-1)N включительно (ровно по одному разу)?
|
|
Сложность: 5 Классы: 8,9,10,11
|
Трапеция $ABCD$ вписана в окружность.
Её основание $AB$ в 3 раза больше основания $CD$.
Касательные к описанной окружности в точках $A$ и $C$ пересекаются в точке $K$.
Докажите, что угол $KDA$ прямой.
Страница:
<< 5 6 7 8
9 10 11 >> [Всего задач: 52]