Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 52]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 66830

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Гомотетия помогает решить задачу ]

Сложность: 5 Классы: 8,10,11

Из центра O описанной окружности треугольника ABC опустили перпендикуляры OP и OQ на биссектрисы внутреннего и внешнего углов при вершине B. Докажите, что прямая PQ делит пополам отрезок, соединяющий середины сторон CB и AB.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66831

Темы:   [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Тождественные преобразования ]

Сложность: 5 Классы: 8,9,10,11

Назовём пару (m, n) различных натуральных чисел m и n хорошей, если mn и (m+1)(n+1) – точные квадраты. Докажите, что для каждого натурального m существует хотя бы одно такое n>m, что пара (m, n) хорошая.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66832

Тема:   [ Задачи с неравенствами. Разбор случаев ]

Сложность: 5 Классы: 8,9,10,11

У Пети было несколько сторублёвок, других денег не было. Петя стал покупать книги (каждая книга стоит целое число рублей) и получать сдачу мелочью (монетами в 1 рубль). При покупке дорогой книги (не дешевле 100 рублей) Петя расплачивался только сторублёвками (минимальным необходимым их количеством), а при покупке дешёвой (дешевле 100 рублей) расплачивался мелочью, если хватало, а если не хватало – сторублёвкой. К моменту, когда сторублёвок не осталось, Петя потратил на книги ровно половину своих денег. Мог ли Петя потратить на книги хотя бы 5000 рублей?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66854

Тема:   [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 5 Классы: 8,9,10,11

Для каких N можно расставить в клетках квадрата $N\times N$ действительные числа так, чтобы среди всевозможных сумм чисел на парах соседних по стороне клеток встречались все целые числа от 1 до 2(N-1)N включительно (ровно по одному разу)?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66855

Темы:   [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ] [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Угол между касательной и хордой ] [ Вспомогательные подобные треугольники ]

Сложность: 5 Классы: 8,9,10,11

Трапеция $ABCD$ вписана в окружность. Её основание $AB$ в 3 раза больше основания $CD$. Касательные к описанной окружности в точках $A$ и $C$ пересекаются в точке $K$. Докажите, что угол $KDA$ прямой.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 52]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями