ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Тема: Все темы >> Геометрия >> Планиметрия >> Окружности >> Связь величины угла с длиной дуги и хорды
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 4 задачи
Версия для печати
Убрать все задачи

Автор: Кожевников П.А.

Отрезок AB пересекает две равные окружности и параллелен их линии центров, причём все точки пересечения прямой AB с окружностями лежат между A и B. Через точку A проводятся касательные к окружности, ближайшей к A, через точку B – касательные к окружности, ближайшей к B. Оказалось, что эти четыре касательные образуют четырёхугольник, содержащий внутри себя обе окружности. Докажите, что в этот четырёхугольник можно вписать окружность.

Вниз   Решение

Автор: Дольников В.Л.

На плоскости отмечено N 3 различных точек. Известно, что среди попарных расстояний между отмеченными точками встречаются не более n различных расстояний. Докажите, что N (n+1)2 .

ВверхВниз   Решение

Клетки квадратной таблицы 15×15 раскрашены в красный, синий и зелёный цвета.
Докажите, что найдутся, по крайней мере, две строки, в которых клеток хотя бы одного цвета поровну.

ВверхВниз   Решение

Автор: Шаповалов А.В.

Имеются плашки (вырезанные из картона прямоугольники) размера 2×1. На каждой плашке нарисована одна диагональ. Есть плашки двух сортов, так как диагональ можно расположить двумя способами, причём плашек каждого сорта имеется достаточно много. Можно ли выбрать 32 плашки и сложить из них квадрат 8×8 так, чтобы концы диагоналей нигде не совпали?

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 49]      

  с решениями  

Задача 58392

Тема:   [ Связь величины угла с длиной дуги и хорды ]
Сложность: 3
Классы: 9,10

а) Докажите, что все окружности и прямые задаются уравнениями вида

Az$\displaystyle \bar{z}$ + cz + $\displaystyle \bar{c}$$\displaystyle \bar{z}$ + D = 0,

где A и D — вещественные числа, а c — комплексное число. Наоборот, докажите, что любое уравнение такого вида задает либо окружность, либо прямую, либо точку, либо пустое множество.
б) Докажите, что при инверсии окружности и прямые переходят в окружности и прямые.
Прислать комментарий     Решение

Задача 116408

Темы:   [ Связь величины угла с длиной дуги и хорды ]
[ Построения одним циркулем ]
Сложность: 3
Классы: 8,9

Авторы: Фельдман Г., Баранов Д.В.

Нарисован угол, и ещё имеется только циркуль.
  а) Какое наименьшее число окружностей надо провести, чтобы наверняка определить, является ли данный угол острым?
  б) Как определить, равен ли данный угол 31° (разрешается проводить сколько угодно окружностей)?

Прислать комментарий     Решение

Задача 64969

Темы:   [ Связь величины угла с длиной дуги и хорды ]
[ Шестиугольники ]
[ Правильные многоугольники ]
[ Принцип Дирихле (углы и длины) ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Автор: Шаповалов А.В.

В окружности радиуса 1 проведено несколько хорд, суммарная длина которых тоже равна 1.
Докажите, что в окружность можно вписать правильный шестиугольник, стороны которого не пересекают этих хорд.

Прислать комментарий     Решение

Задача 56578

Тема:   [ Связь величины угла с длиной дуги и хорды ]
Сложность: 4
Классы: 8,9

Вершины A и B правильного треугольника ABC лежат на окружности S, а вершина C — внутри этой окружности. Точка D лежит на окружности S, причем BD = AB. Прямая CD пересекает S в точке E. Докажите, что длина отрезка EC равна радиусу окружности S.
Прислать комментарий     Решение

Задача 58393

Тема:   [ Связь величины угла с длиной дуги и хорды ]
Сложность: 4
Классы: 9,10

а) Пусть $ \varepsilon$ = $ {\frac{1}{2}}$ + $ {\frac{i\sqrt{3}}{2}}$. Докажите, что точки a, b, c являются вершинами правильного треугольника тогда и только тогда, когда a + $ \varepsilon^{2}_{}$b + $ \varepsilon^{4}_{}$c = 0 или a + $ \varepsilon^{4}_{}$b + $ \varepsilon^{2}_{}$c = 0.
б) Докажите, что точки a, b, c являются вершинами правильного треугольника тогда и только тогда, когда a2 + b2 + c2 = ab + bc + ac.
Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 49]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам