В остроугольном неравнобедренном треугольнике ABC проведены высоты AD , BE и CF . Точки X , Y и Z таковы, что D , E и F являются серединами отрезков BX , CY и AZ соответственно. Докажите, что центры окружностей, описанных около треугольников ACX , ABY и BCZ , являются вершинами треугольника, равного треугольнику ABC .

   Решение

Дан параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁. На лучах C₁C, C₁B₁ и C₁D₁ отложены отрезки C₁M, C₁N и C₁K, равные соответственно  ⁵/₂ CC₁,  ⁵/₂ C₁B₁, 
⁵/₂ C₁D₁. В каком отношении плоскость, проходящая через точки M, N, K, делит объём параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁.

   Решение

Составьте уравнение прямой, проходящей через точку M(- 3;2) параллельно прямой 2x - 3y + 4 = 0.

   Решение

Окружность, вписанная в треугольник ABC касается его сторон AB и AC соответственно в точках M и N. Докажите, что  BN > MN.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 41]      

В треугольнике $ABC$ точка $M$ – середина дуги $BAC$ описанной окружности $\Omega$, $I$ – центр вписанной окружности, $N$ – вторая точка пересечения прямой $AI$ с $\Omega$, $E$ – точка касания стороны $BC$ с соответствующей вневписанной окружностью, $Q$ – вторая точка пересечения окружности $IMN$ с прямой, проходящей через $I$ и параллельной $BC$. Докажите, что прямые $AE$ и $NQ$ пересекаются на $\Omega$.

Прислать комментарий

Решение

В треугольнике $ABC$ выбрана точка $P$. Лучи с началом в точке $P$, пересекающие под прямым углом стороны $BC$, $AC$, $AB$, пересекают описанную окружность в точках $A_1$, $B_1$, $C_1$ соответственно. Оказалось, что прямые $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ пересекаются в одной точке $Q$. Докажите, что все такие прямые $PQ$ пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

Вписанная окружность $\omega$ прямоугольного треугольника $ABC$ касается окружности, проходящей через середины его сторон, в точке $F$. Из середины $O$ гипотенузы $AB$ проведена касательная $OE$ к $\omega$, отличная от $AB$. Докажите, что $CE=CF$.

Прислать комментарий

Решение

Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Через точки $A$, $B$, $C$, $D$ проведена произвольная коника. Рассмотрим четыре прямые, получающиеся при изогональном сопряжении этой коники относительно треугольников $ABC$, $ABD$, $BCD$, $ACD$. Докажите, что четырёхугольник, образованный этими прямыми, – описанный.

Прислать комментарий

Решение

Касательные к описанной окружности треугольника ABC в точках B и C пересекаются в точке P. Точка Q симметрична точке A относительно середины отрезка BC. Докажите, что точки P и Q изогонально сопряжены.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 41]