Найдите все такие простые числа p, q, r и s, что их сумма – простое число. а числа  p² + qs  и  p² + qr  – квадраты натуральных чисел. (Числа p, q, r и s предполагаются различными.)

   Решение

Из вершины A треугольника ABC проведены биссектрисы внутреннего и внешнего углов, пересекающие прямую BC в точках D и E соответственно. Найдите отношение , если = .

   Решение

Сумма углов при основании трапеции равна  90^o. Докажите, что отрезок, соединяющий середины оснований, равен полуразности оснований.

   Решение

Страница: << 160 161 162 163 164 165 166 >> [Всего задач: 1282]      

Концы отрезка постоянной длины скользят по сторонам данного угла. Из середины этого отрезка к нему восставлен перпендикуляр. Докажите, что отрезок перпендикуляра от его начала до точки пересечения с биссектрисой угла имеет постоянную длину.

Прислать комментарий

Решение

На окружности выбрано пять точек A₁, A₂, A₃, A₄, H. Обозначим через h_ij расстояние от точки H до прямой A_iA_j. Доказать, что   h₁₂h₃₄ = h₁₄h₂₃.

Прислать комментарий

Решение

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность с центром O. Описанные окружности треугольников ABO и CDO, пересеклись второй раз в точке F. Докажите, что описанная окружность треугольника AFD проходит через точку E пересечения отрезков AC и BD.

Прислать комментарий

Решение

В треугольнике одна из средних линий больше одной из медиан. Докажите, что этот треугольник – тупоугольный.

Прислать комментарий

Решение

Стороны AB, BC, CD и DA четырёхугольника ABCD касаются некоторой окружности в точках K, L, M и N соответственно, S – точка пересечения отрезков KM и LN. Известно, что вокруг четырёхугольника SKBL можно описать окружность. Докажите, что вокруг четырёхугольника SNDM также можно описать окружность.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 160 161 162 163 164 165 166 >> [Всего задач: 1282]