Дана окружность Ω и точка P вне её. Проходящая через точку P прямая l пересекает окружность в точках A и B. На отрезке AB отмечена такая точка C, что  PA·PB = PC². Точки M и N – середины двух дуг, на которые хорда AB разбивает окружность Ω. Докажите, что величина угла MCN не зависит от выбора прямой l.

   Решение

Радиус вписанной окружности треугольника равен . Докажите, что наибольшая высота треугольника не меньше 1.

   Решение

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 92]      

Докажите, что в правильный пятиугольник можно так вписать квадрат, что его вершины будут лежать на четырёх сторонах пятиугольника.

Прислать комментарий

Решение

Дан выпуклый пятиугольник ABCDE, все стороны которого равны между собой. Известно, что угол A равен 120°, угол C равен 135°, а угол D равен n°.
Найдите все возможные целые значения n.

Прислать комментарий

Решение

Точка $H$ лежит на стороне $AB$ правильного пятиугольника $ABCDE$. Окружность с центром $H$ и радиусом $HE$ пересекает отрезки $DE$ и $CD$ в точках $G$ и $F$ соответственно. Известно, что $DG=AH$. Докажите, что $CF=AH$.

Прислать комментарий

Решение

Дан вписанный пятиугольник $APBCQ$. Точка $M$ внутри треугольника $ABC$ такова, что $\angle MAB=\angle MCA$, $\angle MAC=\angle MBA$ и $\angle PMB=\angle QMC=90^{\circ}$. Докажите, что прямые $AM$, $BP$ и $CQ$ пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

Дан вписанный в окружность пятиугольник. Докажите, что отношение его площади к сумме диагоналей не превосходит четверти радиуса окружности.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 92]