ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Версия для печати
Убрать все задачи a и b – две данные стороны треугольника. D – точка на стороне BC треугольника ABC. B треугольники ABD, ACD вписаны окружности, и к ним проведена общая внешняя касательная (отличная от BC), пересекающая AD в точке K. Докажите, что длина отрезка AK не зависит от положения точки D на BC. Доказать, что существует бесконечно много таких составных n, что 3n–1 – 2n–1 кратно n. Грани выпуклого многогранника – подобные треугольники. Окружность радиуса 2 проходит через середины трёх сторон треугольника ABC, в котором углы при вершинах A и B равны 30° и 45° соответственно. При каких натуральных n найдутся такие положительные рациональные, но не целые числа a и b, что оба числа a + b и an + bn – целые? Существуют ли такие 2013 различных натуральных чисел, что сумма каждых 2012 из них не меньше квадрата оставшегося? В шестиугольнике ABCDEF AB = BC, CD = DE, EF = FA и ∠A = ∠C = ∠E. Пятизначное число называется неразложимым, если оно не раскладывается в произведение двух трёхзначных чисел. В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AHA,
BHB и CHC. Постройте параллелограмм ABCD, если на плоскости отмечены три точки: середины его высот BH и BP и середина стороны AD. Сумма расстояний между серединами противоположных сторон четырёхугольника равна его полупериметру. Докажите, что этот четырёхугольник — параллелограмм. В выпуклом четырёхугольнике семь из восьми отрезков, соединяющих вершины с серединами противоположных сторон, равны. На продолжении AB, BC, CD и DA сторон выпуклого четырёхугольника ABCD откладываются отрезки BB1=AB; CC1=BC; DD1=CD; AA1=AD . Доказать, что площадь четырёхугольника A1B1C1D1 в пять раз больше площади четырёхугольника ABCD . В прямоугольном треугольнике ABC проведён отрезок CK, соединяющий вершину прямого угла с точкой K на гипотенузе AB так, что длины отрезков BK, CK и AK различны и образуют в указанном порядке геометрическую прогрессию, причём CK = 2. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC, если AC = 3. В квадрате со стороной, равной 1, произвольно берут 101 точку (не обязательно внутри квадрата, возможно, часть на сторонах), причём никакие три из них не лежат на одной прямой. Докажите, что существует треугольник с вершинами в этих точках, площадь которого не больше 0,01.
Известно, что радиус окружности, описанной около
треугольника ABC, равняется стороне AB этого треугольника. Найдите
высоту треугольника ABC, проведенную из точки C, если она меньше
Окружность пересекает стороны угла BAC в точках B, N, M и C,
точка N находится между A и B, точка M — между A и C.
Величины углов ACB и BMC равны
|
Страница: << 11 12 13 14 15 16 17 >> [Всего задач: 449]
Вычислите биссектрису треугольника ABC, проведённую из вершины A, если BC = 18, AC = 15, AB = 12.
Точка D лежит на стороне BC равнобедренного треугольника ABC
(AB = CB), причём
CD =
Точка D лежит на стороне AB равнобедренного треугольника ABC
(AB = CB), причём
AD =
В треугольнике ABC на сторонах AB, BC и AD взяты соответственно точки K, L и M. Известно, что AK = 5, KB = 3, BL = 2, LC = 7, CM = 1, MA = 6, Найдите расстояние от точки M до середины KL.
Окружность пересекает стороны угла BAC в точках B, N, M и C,
точка N находится между A и B, точка M — между A и C.
Величины углов ACB и BMC равны
Страница: << 11 12 13 14 15 16 17 >> [Всего задач: 449]
|
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|
![]() |
Проект осуществляется при поддержке