Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 20 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Можно ли покрасить некоторые клетки доски 8×8 так, чтобы в любом квадрате 3×3 было ровно 5 закрашенных клеток, а в каждом прямоугольнике 2×4 (вертикальном или горизонтальном) – ровно 4 закрашенные клетки?

Вниз   Решение


На экране компьютера стоят в ряд 200 человек. На самом деле эта картинка составлена из 100 фрагментов, на каждом – пара: взрослый и ребёнок пониже ростом. Разрешается в каждом из фрагментов изменить масштаб, уменьшив при этом одновременно рост взрослого и ребёнка в одинаковое целое число раз (масштабы разных фрагментов можно менять независимо друг от друга). Докажите, что это можно сделать так, что на общей картинке все взрослые будут выше всех детей.

ВверхВниз   Решение


Точки M и N – середины противоположных сторон BC и AD выпуклого четырёхугольника ABCD. Диагональ AC проходит через середину отрезка MN. Докажите, что треугольники ABC и ACD равновелики.

ВверхВниз   Решение


Какое наибольшее число белых и чёрных фишек можно расставить на шахматной доске так, чтобы на каждой горизонтали и на каждой вертикали белых фишек было ровно в два раза больше, чем чёрных?

ВверхВниз   Решение


Bыпуклый n-угольник P, где  n > 3,  разрезан на равные треугольники диагоналями, не пересекающимися внутри него.
Каковы возможные значения n, если n-угольник вписанный?

ВверхВниз   Решение


Дано 101-элементное подмножество A множества  S = {1, 2, ..., 1000000}.
Докажите, что для некоторых  t1, ..., t100  из S множества   Aj = {x + tj | xA;  j = 1, ..., 100}   попарно не пересекаются.

ВверхВниз   Решение


На сторонах единичного квадрата отметили точки K, L, M и N так, что прямая KM параллельна двум сторонам квадрата, а прямая LN – двум другим сторонам квадрата. Отрезок KL отсекает от квадрата треугольник периметра 1. Треугольник какой площади отсекает от квадрата отрезок MN?

ВверхВниз   Решение


Пусть p – простое число. Докажите, что при некотором простом q все числа вида  np – p  не делятся на q.

ВверхВниз   Решение


В клетчатом квадрате 10×10 отмечены центры всех единичных квадратиков (всего 100 точек). Какое наименьшее число прямых, не параллельных сторонам квадрата,

нужно провести, чтобы вычеркнуть все отмеченные точки?

ВверхВниз   Решение


Внутри квадрата ABCD взята точка M. Докажите, что точки пересечения медиан треугольников  ABM, BCM, CDM и DAM образуют квадрат.

ВверхВниз   Решение


Боковая поверхность прямоугольного параллелепипеда с основанием a×b и высотой c (a, b и c – натуральные числа) оклеена по клеточкам без наложений и пропусков прямоугольниками со сторонами, параллельными рёбрам параллелепипеда, каждый из которых состоит из чётного числа единичных квадратов. При этом разрешается перегибать прямоугольники через боковые ребра параллелепипеда. Докажите, что если c нечётно, то число способов оклейки чётно.

ВверхВниз   Решение


Найдите все такие натуральные  (a, b),  что a2 делится на натуральное число  2ab2b3 + 1.

ВверхВниз   Решение


Одной операцией к числу можно либо прибавить 9, либо стереть в нём в любом месте цифру 1.
Из любого ли натурального числа A при помощи таких операций можно получить число A + 1?
(Если стирается единица в самом начале числа, а за ней сразу идут нули, то эти нули тоже стираются.)

ВверхВниз   Решение


Дан квадратный лист бумаги со стороной 1. Отмерьте на этом листе расстояние ⅚ (лист можно сгибать, в том числе, по любому отрезку с концами на краях бумаги и разгибать обратно; после разгибания на бумаге остаётся след от линии сгиба).

ВверхВниз   Решение


Вокруг правильного семиугольника описали окружность и вписали в него окружность. То же проделали с правильным 17-угольником. В результате каждый из многоугольников оказался расположенным в своем круговом кольце. Оказалось, что площади этих колец одинаковы. Докажите, что стороны многоугольников одинаковы.

ВверхВниз   Решение


Пусть  $x_1 \le \dots \le x_n$.  Докажите неравенство $$\bigg( \sum \limits_{i,j=1}^n |x_i-x_j|\bigg)^2 \le \frac{2 (n^2-1)}{3} \sum \limits_{i,j=1}^n (x_i-x_j)^2.$$ Докажите, что оно обращается в равенство только если числа $x_1, \dots, x_n$ образуют арифметическую прогрессию.

ВверхВниз   Решение


Две окружности w1 и w2 пересекаются в точках A и B. К ним через точку A проводятся касательные l1 и l2 (соответственно). Перпендикуляры, опущенные из точки B на l2 и l1, вторично пересекают окружности w1 и w2 соответственно в точках K и N. Докажите, что точки K, A и N лежат на одной прямой.

ВверхВниз   Решение


Пусть a, b, c – стороны треугольника. Докажите неравенство  a³ + b³ + 3abc > c³.

ВверхВниз   Решение




Автостоянка в Цветочном городе представляет собой квадрат 7x 7 клеточек, в каждой из которых можно поставить машину. Стоянка обнесена забором, одна из сторон угловой клетки удалена (это ворота). Машина ездит по дорожке шириной в клетку. Незнайку попросили разместить как можно больше машин на стоянке таким образом, чтобы любая могла выехать, когда прочие стоят. Незнайка расставил 24 машины так, как показано на рис.. Попытайтесь расставить машины по-другому, чтобы их поместилось больше.

ВверхВниз   Решение


Четыре кузнечика сидят в вершинах квадрата. Каждую минуту один из них прыгает в точку, симметричную ему относительно другого кузнечика. Докажите, что кузнечики не могут в некоторый момент оказаться в вершинах квадрата большего размера.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 7 8 9 10 11 12 13 >> [Всего задач: 140]      



Задача 105146

Темы:   [ Геометрия на клетчатой бумаге ]
[ Раскраски ]
[ Разрезания на части, обладающие специальными свойствами ]
Сложность: 4-
Классы: 7,8,9

Можно ли покрасить некоторые клетки доски 8×8 так, чтобы в любом квадрате 3×3 было ровно 5 закрашенных клеток, а в каждом прямоугольнике 2×4 (вертикальном или горизонтальном) – ровно 4 закрашенные клетки?
Прислать комментарий     Решение


Задача 107624

Темы:   [ Геометрия на клетчатой бумаге ]
[ Перенос помогает решить задачу ]
Сложность: 4-
Классы: 7,8,9

Найдите сумму величин углов MAN, MBN, MCN, MDN и MEN, нарисованных на клетчатой бумаге так, как показано на рисунке 1.
Рис. 1

Прислать комментарий     Решение


Задача 107751

Темы:   [ Геометрия на клетчатой бумаге ]
[ Свойства симметрии и центра симметрии ]
[ Обратный ход ]
Сложность: 4-
Классы: 7,8,9

Четыре кузнечика сидят в вершинах квадрата. Каждую минуту один из них прыгает в точку, симметричную ему относительно другого кузнечика. Докажите, что кузнечики не могут в некоторый момент оказаться в вершинах квадрата большего размера.
Прислать комментарий     Решение


Задача 109426

Темы:   [ Геометрия на клетчатой бумаге ]
[ Разрезания на части, обладающие специальными свойствами ]
[ Свойства симметрий и осей симметрии ]
Сложность: 4-
Классы: 6,7,8

Нарисуйте, как из данных трёх фигурок, использовав каждую ровно один раз, сложить фигуру, имеющую ось симметрии.
Прислать комментарий     Решение


Задача 65105

Темы:   [ Геометрия на клетчатой бумаге ]
[ Многоугольники и многогранники с вершинами в узлах решетки ]
[ Перегруппировка площадей ]
[ Разложение на множители ]
Сложность: 4-
Классы: 6,7

Юра начертил на клетчатой бумаге прямоугольник (по клеточкам) и нарисовал на нём картину. После этого он нарисовал вокруг картины рамку шириной в одну клеточку (см. рис.). Оказалось, что площадь картины равна площади рамки. Какие размеры могла иметь Юрина картина?

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 7 8 9 10 11 12 13 >> [Всего задач: 140]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .