Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Тема: Все темы >> Геометрия >> Планиметрия >> Окружности >> Вписанный угол >> Отрезок, видимый из двух точек под одним углом
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрана 21 задача
Версия для печати
Убрать все задачи

Даны два бикфордова шнура, каждый из которых горит ровно минуту, если его поджечь с одного конца (но сгорать может неравномерно).
Как с помощью этих шнуров отмерить 45 секунд? (Поджигать шнур можно с любого из двух концов.)

Вниз   Решение

Плоскость раскрашена в два цвета. Докажите, что найдутся две точки одного цвета на расстоянии 2004 м.

ВверхВниз   Решение

Можно ли в тетрадном листке вырезать такую дырку, через которую пролез бы человек?

ВверхВниз   Решение

Докажите, что прямая, проходящая через середины оснований трапеции, разбивает её на две равновеликие части.

ВверхВниз   Решение

Автор: Маркелов С.В.

В треугольнике ABC сторона AC наименьшая. На сторонах AB и CB взяты точки K и L соответственно, причём  KA = AC = CL.  Пусть M – точка пересечения AL и KC, а I – центр вписанной в треугольник ABC окружности. Докажите, что прямая MI перпендикулярна прямой AC.

ВверхВниз   Решение

Автор: Емельянова Т.

На стороне AC остроугольного треугольника ABC выбраны точки M и K так, что ∠ABM = ∠CBK.
Докажите, что центры описанных окружностей треугольников ABM, ABK, CBM и CBK лежат на одной окружности.

ВверхВниз   Решение

Автор: Заславский А.А.

Дан прямоугольник ABCD и точка P. Прямые, проходящие через A и B и перпендикулярные, соответственно, PC и PD, пересекаются в точке Q.
Докажите, что  PQ ⊥ AB.

ВверхВниз   Решение

Автор: Заславский А.А.

Найдите геометрическое место точек пересечения высот треугольников, у которых даны середина одной стороны и основания высот, опущенных на две другие.

ВверхВниз   Решение

Два противоположных ребра треугольной пирамиды равны a , два других противоположных ребра равны b , два оставшихся ребра равны c . Найдите радиус описанной сферы.

ВверхВниз   Решение

Автор: Евдокимов М.А.

Рассматриваются всевозможные квадратные трёхчлены вида  x² + px + q,  где p, q – целые,  1 ≤ p ≤ 1997,  1 ≤ q ≤ 1997.
Каких трёхчленов среди них больше: имеющих целые корни или не имеющих действительных корней?

ВверхВниз   Решение

В выпуклом шестиугольнике ABCDEF отрезки AB и CF, CD и BE, EF и AD попарно параллельны.
Докажите, что площади треугольников ACE и BFD равны.

ВверхВниз   Решение

В треугольнике ABC известно, что  BC = 2AC.  На стороне BC выбрана точка D, для которой  ∠CAD = ∠B. Прямая AD пересекает биссектрису внешнего угла при вершине C в точке E. Докажите, что  AE = AB.

ВверхВниз   Решение

Диагонали выпуклого четырёхугольника ABCD пересекаются в точке E, AB = BC, DB — биссектриса угла D, $ \angle$ABC = 100o, $ \angle$BEA = 70o. Найдите угол CAD.

ВверхВниз   Решение

На биссектрисе данного угла фиксирована точка. Рассматриваются всевозможные равнобедренные треугольники, у которых вершина находится в этой точке, а концы оснований лежат на разных сторонах этого угла. Найти геометрическое место середин оснований таких треугольников.

ВверхВниз   Решение

Автор: Толпыго А.К.

В выпуклом четырёхугольнике ABCD стороны равны соответственно:   AB = 10,  BC = 14,  CD = 11,  AD = 5.   Найдите угол между его диагоналями.

ВверхВниз   Решение

На окружности радиуса 3, описанной около правильного треугольника, взята точка E. Известно, что расстояние от точки E до одной из вершин треугольника равно 5. Найдите разность расстояний от точки E до двух других вершин треугольника.

ВверхВниз   Решение

Автор: Каибханов А.К.

Аудитория имеет форму правильного шестиугольника со стороной 3 м. В каждом углу установлен храпометр, определяющий число спящих студентов на расстоянии, не превышающем 3 м. Сколько всего спящих студентов в аудитории, если сумма показаний храпометров равна 7?

ВверхВниз   Решение

Авторы: Кондаков Г.В., Ковальджи А.К.

Придумайте многогранник, у которого нет трех граней с одинаковым числом сторон.

ВверхВниз   Решение

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA1, BB1 и CC1. На отрезке A1C1 выбрали такие точки A2 и C2, что отрезок B1A2 делится высотой CC1 пополам и пересекает высоту AA1 в точке K, а отрезок B1C2 делится высотой AA1 пополам и пересекает высоту CC1 в точке L. Докажите, что KL || AC.

ВверхВниз   Решение

Угол при вершине B треугольника ABC равен 60o ; AA1 и CC1 – высоты треугольника. На прямой, проходящей через вершину B перпендикулярно A1C1 , выбрана точка M , отличная B , причём AMC=60o . Докажите, что AMB=30o .

ВверхВниз   Решение

Автор: Емельянов Л.А.

Дан треугольник ABC . На прямой AC отмечена точка B1 так, что AB=AB1 , при этом B1 и C находятся по одну сторону от A . Через точки C , B1 и основание биссектрисы угла A треугольника ABC проводится окружность , вторично пересекающая окружность, описанную около треугольника ABC , в точке Q . Докажите, что касательная, проведённая к в точке Q , параллельна AC .

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 7 8 9 10 11 12 13 >> [Всего задач: 83]      

  с решениями  

Задача 108662

Темы:   [ Симметрия помогает решить задачу ]
[ Вспомогательная окружность ]
[ Отрезок, видимый из двух точек под одним углом ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
Сложность: 4
Классы: 8,9

Угол при вершине B треугольника ABC равен 60o ; AA1 и CC1 – высоты треугольника. На прямой, проходящей через вершину B перпендикулярно A1C1 , выбрана точка M , отличная B , причём AMC=60o . Докажите, что AMB=30o .
Прислать комментарий     Решение

Задача 110761

Темы:   [ Конкуррентность высот. Углы между высотами. ]
[ ГМТ - окружность или дуга окружности ]
[ Отрезок, видимый из двух точек под одним углом ]
[ Ортоцентр и ортотреугольник ]
[ ГМТ и вписанный угол ]
Сложность: 4
Классы: 8,9

Автор: Заславский А.А.

Найдите геометрическое место точек пересечения высот треугольников, у которых даны середина одной стороны и основания высот, опущенных на две другие.
Прислать комментарий     Решение

Задача 102422

Темы:   [ Симметрия помогает решить задачу ]
[ Вспомогательная окружность ]
[ Отрезок, видимый из двух точек под одним углом ]
Сложность: 4
Классы: 8,9

Диагонали выпуклого четырёхугольника ABCD пересекаются в точке E, AB = BC, DB — биссектриса угла D, $ \angle$ABC = 100o, $ \angle$BEA = 70o. Найдите угол CAD.

Прислать комментарий     Решение

Задача 108222

Темы:   [ Вспомогательная окружность ]
[ Симметрия помогает решить задачу ]
[ Отрезок, видимый из двух точек под одним углом ]
[ Угол между касательной и хордой ]
[ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9

Автор: Емельянов Л.А.

Дан треугольник ABC . На прямой AC отмечена точка B1 так, что AB=AB1 , при этом B1 и C находятся по одну сторону от A . Через точки C , B1 и основание биссектрисы угла A треугольника ABC проводится окружность , вторично пересекающая окружность, описанную около треугольника ABC , в точке Q . Докажите, что касательная, проведённая к в точке Q , параллельна AC .
Прислать комментарий     Решение

Задача 52833

Темы:   [ Теорема синусов ]
[ Вспомогательная окружность ]
[ Отрезок, видимый из двух точек под одним углом ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9

В выпуклом четырёхугольнике ABCD известны углы: $ \angle$BAC = 20o, $ \angle$BCA = 35o, $ \angle$BDC = 40o, $ \angle$BDA = 70o. Найдите угол между диагоналями этого четырёхугольника.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 7 8 9 10 11 12 13 >> [Всего задач: 83]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .