- Выделение полного квадрата. Суммы квадратов (51 задача)
- Метод спуска (19 задач)
- Обратный ход (44 задачи)
- Подсчет двумя способами (222 задачи)
- Разбиения на пары и группы; биекции (327 задач)
- Итерации (70 задач)
- Процессы и операции (316 задач)
- Перебор случаев (203 задачи)
- Замена переменных (31 задача)
- Симметрия и инволютивные преобразования (22 задачи)
Фильтр
Выбрано 16 задач Убрать все задачи
Кристалл пирита представляет собой параллелепипед, на каждую грань которого нанесена штриховка.
В каждой клетке квадратной таблицы написано по числу. Известно, что в каждой строке таблицы сумма двух наибольших чисел равна a,
а в каждом столбце сумма двух наибольших чисел равна b. Докажите, что a = b.
Дан треугольник ABC, в котором AB > BC. Касательная к его описанной окружности в точке B пересекает прямую AC в точке P. Точка D симметрична точке B относительно точки P, а точка E симметрична точке C относительно прямой BP. Докажите, что четырёхугольник ABED – вписанный.
Найдите все такие нечётные натуральные n > 1, что для любых взаимно простых делителей a и b числа n число a + b – 1 также является делителем n.
В выпуклом четырёхугольнике ABCD AB = BC. Лучи BA и CD пересекаются в точке E, а лучи AD и BC – в точке F. Известно также, что BE = BF и
∠DEF = 25°. Найдите угол EFD.
Окружности $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ касаются друг друга внешним образом и касаются изнутри окружности $\Omega$ в точках $A_1$, $B_1$, $C_1$ соответственно. Общая внутренняя касательная к $\alpha$ и $\beta$ пересекает не содержащую $C_1$ дугу $A_1B_1$ в точке $C_2$. Точки $A_2$, $B_2$ определяются аналогично. Докажите, что прямые $A_1A_2$, $B_1B_2$, $C_1C_2$ пересекаются в одной точке.
Все натуральные числа от 1 до 1000 включительно разбиты на две группы: чётные и нечётные.
В какой из групп сумма всех цифр, используемых для записи чисел, больше и на сколько?
В треугольнике ABC прямые, содержащие высоты AP, CR, и BQ (точки
P, R и Q лежат на прямых, содержащих соответствующие стороны треугольника ABC),
пересекаются в точке O. Найдите площади треугольников ABC и POC, если известно, что
RP параллельно AC, AC = 4 и
sinABC =
.
Докажите, что любой квадратный трёхчлен можно представить в виде суммы двух квадратных трёхчленов с нулевыми дискриминантами.
Даны точки A(- 6; - 1), B(1;2) и C(- 3; - 2). Найдите координаты вершины M параллелограмма ABMC.
Двугранный угол при основании правильной n -угольной пирамиды равен β . Найдите двугранный угол между соседними боковыми гранями.
Дан треугольник ABC. Окружность ω касается описанной окружности Ω треугольника ABC в точке A, пересекает сторону AB в точке K, а также пересекает сторону BC. Касательная CL к окружности ω такова, что отрезок KL пересекает сторону BC в точке T. Докажите, что отрезок BT равен по длине касательной, проведённой из точки B к ω.
По рёбрам выпуклого многогранника с 2003 вершинами проведена замкнутая ломаная, проходящая через каждую вершину ровно один раз. Докажите, что в каждой из частей, на которые эта ломаная делит поверхность многогранника, количество граней с нечётным числом сторон нечётно.
В треугольнике $ABC$ $I$ – центр вписанной окружности, $D$ – произвольная точка на стороне $BC$, серединный перпендикуляр к отрезку $AD$ пресекает прямые $BI$ и $CI$ в точках $F$ и $E$ соответственно. Найдите геометрическое место ортоцентров треугольников $EIF$.
Найдите все такие пары (x, y) натуральных чисел, что x + y = an, x² + y² = am для некоторых натуральных a, n, m.
Дан квадратный трёхчлен f(x) = x² + ax + b. Уравнение f(f(x)) = 0 имеет четыре различных действительных корня, сумма двух из которых равна –1. Докажите, что b ≤ – ¼.
Задачи Страница: << 36 37 38 39 40 41 42 >> [Всего задач: 1224]
Задача 105187 |
|
|
Докажите, что любой квадратный трёхчлен можно представить в виде суммы двух квадратных трёхчленов с нулевыми дискриминантами.
|
|
Решение |
Задача 107752 |
|
|
Придворный астролог называет момент времени хорошим, если часовая, минутная и секундная стрелки часов находятся по одну сторону от какого-нибудь диаметра циферблата (стрелки вращаются на общей оси и не делают скачков). Какого времени в сутках больше, хорошего или плохого?
|
|
Решение |
Задача 107980 |
|
|
Придворный астролог царя Гороха называет время суток хорошим, если на часах с центральной секундной стрелкой при мгновенном обходе циферблата по ходу часов минутная стрелка встречается после часовой и перед секундной. Какого времени в сутках больше: хорошего или плохого? (Стрелки часов движутся с постоянной скоростью.)
|
|
|
Решение |
Задача 109857 |
|
|
Дан квадратный трёхчлен f(x) = x² + ax + b. Уравнение f(f(x)) = 0 имеет четыре различных действительных корня, сумма двух из которых равна –1. Докажите, что b ≤ – ¼.
|
|
|
Решение |
Задача 109938 |
|
|
На доске записано целое число. Его последняя цифра запоминается, затем стирается и, умноженная на 5, прибавляется к тому числу, что осталось на доске после стирания. Первоначально было записано число 71998. Может ли после применения нескольких таких операций получиться число 19987?
|
|
|
Решение |
Страница: << 36 37 38 39 40 41 42 >> [Всего задач: 1224]
