- Четырехугольная пирамида (51 задача)
- Правильная пирамида (398 задач)
- Усеченная пирамида (9 задач)
- Сфера, вписанная в пирамиду (75 задач)
- Сфера, описанная около пирамиды (60 задач)
- Сфера, касающаяся ребер или сторон пирамиды (33 задачи)
- Пирамида (прочее) (25 задач)
Фильтр
Выбрано 19 задач Убрать все задачи
Один из углов треугольника равен α. Найдите угол между прямыми, содержащими высоты, проведённые из вершин двух других углов.
Основание правильной четырёхугольной пирамиды – квадрат
со стороной 8. Высота пирамиды равна 9. Через сторону основания
проведена плоскость, образующая с плоскостью основания угол,
равный arctg . Найдите площадь сечения пирамиды
этой плоскостью.
Апофема правильной четырёхугольной пирамиды равна a , а противоположные боковые грани пирамиды взаимно перпендикулярны. Найдите радиусы описанной и вписанной сфер.
На прямой выбрано 100 множеств A1, A2, .. , A100 , каждое из которых является объединением 100 попарно непересекающихся отрезков. Докажите, что пересечение множеств A1, A2, .. , A100 является объединением не более 9901 попарно непересекающихся отрезков (точка также считается отрезком).
В треугольнике ABC проведена биссектриса BL. Известно, что BL = AB. На продолжении BL за точку L выбрана точка K, причём ∠BAK + ∠BAL = 180°. Докажите, что BK = BC.
В правильной треугольной пирамиде ABCD сторона основания
ABC равна 4, угол между плоскостью основания ABC и боковой гранью равен
. Точки K, M,
N – середины отрезков AB, DK, AC соответственно,
точка E лежит на отрезке CM и 5ME = CE. Через точку E
проходит плоскость П перпендикулярно отрезку CM. В каком отношении плоскость
П делит рёбра пирамиды? Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью П и расстояние
от точки N до плоскости П.
На доске записано произведение a1a2... a100, где a1, ..., a100 – натуральные числа. Рассмотрим 99 выражений, каждое из которых получается заменой одного из знаков умножения на знак сложения. Известно, что значения ровно 32 из этих выражений чётные. Какое наибольшее количество чётных чисел среди a1, a2, ..., a100 могло быть?
В кубе ABCDA1B1C1D1, ребро которого равно 6, точки M и N – середины рёбер AB и B1C1 соответственно, а точка K расположена на ребре DC так, что
DK = 2KC. Найдите
а) расстояние от точки N до прямой AK;
б) расстояние между прямыми MN и AK;
в) расстояние от точки A1 до плоскости треугольника MNK.
В треугольнике ABC провели биссектрисы углов A и C. Точки P и Q – основания перпендикуляров, опущенных из вершины B на эти биссектрисы. Докажите, что отрезок PQ параллелен стороне AC.
Маша задумала натуральное число и нашла его остатки при делении на 3, 6 и 9. Сумма этих остатков оказалась равна 15.
Найдите остаток от деления задуманного числа на 18.
Рациональные числа x, y и z таковы, что все числа x + y² + z², x² + y + z² и x² + y² + z целые. Докажите, что число 2x целое.
В пирамиде ABCD длина каждого из рёбер AB и CD равна 4, длина каждого из остальных рёбер равна 3. В эту пирамиду вписана сфера. Найдите объём пирамиды, вершинами которой являются точки касания сферы с гранями пирамиды ABCD .
Пусть вневписанные окружности треугольника, касающиеся сторон AC и BC , касаются прямой AB в точках P и Q соответственно. Докажите, что середина стороны AB совпадает с серединой отрезка PQ .
a и b – натуральные числа. Покажите, что если 4ab – 1 делит (4a² – 1)², то a = b.
Докажите, что для треугольника со сторонами a , b , c
и площадью S выполнено неравенство
Докажите, что если
для некоторых a , b , c , x , y , z , то x=y=z или a=b=c .
Даны правильная четырёхугольная пирамида SABCD и конус, центр
основания которого лежит на прямой SO ( SO – высота пирамиды). Точка
E – середина ребра SD , точка F лежит на ребре AD ,
причём AF=FD . Треугольник, являющийся одним из осевых
сечений конуса, расположен так, что две его вершины лежат на
прямой CD , а третья – на прямой EF .
Найдите объём конуса, если AB=4 , SO=3 .
На окружности взята точка A , на диаметре BC —
точки D и E , а на его продолжении за точку B —
точка F . Найдите BC , если BAD =
ACD ,
BAF =
CAE , BD=2 , BE=5 и BF=4 .
Сторона основания ABCD правильной четырёхугольной пирамиды SABCD равна
. Через основание
высоты пирамиды проведена плоскость, параллельная медианам SM и BN граней SAB и
SBC соответственно. Найдите площадь сечения пирамиды
этой плоскостью, если расстояние от вершины пирамиды до этой плоскости равно
.
Задачи Страница: << 95 96 97 98 99 100 101 >> [Всего задач: 540]
Задача 110509 |
|
|
Расстояние от центра O шара радиуса 9, описанного около
правильной четырёхугольной пирамиды, до бокового ребра
в раз больше расстояния от точки O
до боковой грани пирамиды.
Найдите:
1) высоту пирамиды;
2) расстояние от точки O до боковой грани пирамиды;
3) радиус вписанного в пирамиду шара.
|
|
Решение |
Задача 65416 |
|
|
На землю положили квадратную раму, в центре квадрата установили вертикальный шест. Когда на эту конструкцию сверху натянули ткань, получилась маленькая палатка. Если положить рядом вплотную две таких же рамы, в центре каждой поставить вертикальный шест той же длины и натянуть сверху ткань, получится большая палатка. На маленькую палатку ушло 4 квадратных метра ткани. А сколько ткани потребуется для большой палатки?
|
|
|
Решение |
Задача 116518 |
|
В правильной треугольной пирамиде ABCD длина бокового ребра равна
12, а угол между основанием ABC и боковой гранью равен
. Точки K,
M, N – середины рёбер AB, CD,
AC соответственно. Точка E лежит на отрезке KM и 2ME
= KE. Через точку E проходит плоскость П перпендикулярно отрезку
KM. В каком отношении плоскость П делит рёбра пирамиды? Найдите площадь
сечения пирамиды плоскостью П и расстояние от точки N до плоскости П.
|
|
|
Решение |
Задача 116519 |
|
В правильной треугольной пирамиде ABCD сторона основания
ABC равна 4, угол между плоскостью основания ABC и боковой гранью равен
. Точки K, M,
N – середины отрезков AB, DK, AC соответственно,
точка E лежит на отрезке CM и 5ME = CE. Через точку E
проходит плоскость П перпендикулярно отрезку CM. В каком отношении плоскость
П делит рёбра пирамиды? Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью П и расстояние
от точки N до плоскости П.
|
|
Решение |
Задача 87135 |
|
|
В правильной треугольной пирамиде расположен шар радиуса 1. В точке, делящей пополам высоту пирамиды, он касается внешним образом полушара. Полушар опирается на круг, вписанный в основание пирамиды, шар касается боковых граней пирамиды. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды и угол между боковыми гранями пирамиды.
|
|
|
Решение |
Страница: << 95 96 97 98 99 100 101 >> [Всего задач: 540]
