Какова наибольшая длина арифметической прогрессии из натуральных чисел a₁, a₂, ..., a_n с разностью 2, обладающей свойством:    – простое при всех  k = 1, 2, ..., n?

   Решение

Среди 18 деталей, выставленных в ряд, какие-то три подряд стоящие весят по 99 г, а все остальные – по 100 г. Двумя взвешиваниями на весах со стрелкой определите все 99-граммовые детали.

   Решение

Точки A , B , C , D , A1 , B1 , C1 , D1 лежат на сфере. Отрезки AA1 , BB1 , CC1 , DD1 пересекаются в точке S , которая делит отрезок DD1 пополам. Известно, что DD1 = 2 , отношение радиусов вписанных окружностей треугольников SB1C и SBC1 равно , отношение объёмов пирамид SABC и SA1B1C1 равно , а отношение объёмов пирамид SA1BD и SAB1D1 равно . Найдите отрезки SA , SB , SC .

   Решение

Страница: << 66 67 68 69 70 71 72 >> [Всего задач: 2399]      

Точки A , B , C , D , A1 , B1 , C1 , D1 лежат на сфере. Отрезки AA1 , BB1 , CC1 , DD1 пересекаются в точке S , которая делит отрезок DD1 пополам. Известно, что DD1 = 2 , отношение радиусов вписанных окружностей треугольников SB1C и SBC1 равно , отношение объёмов пирамид SABC и SA1B1C1 равно , а отношение объёмов пирамид SA1BD и SAB1D1 равно . Найдите отрезки SA , SB , SC .

Прислать комментарий

Решение

Ортогональной проекцией правильного тетраэдра на плоскость, параллельную одному из рёбер, является четырёхугольник площади S , у которого отношение наибольшей и наименьшей сторон равно . Найдите площадь поверхности тетраэдра.

Прислать комментарий

Решение

Высоты тетраэдра пересекаются в одной точке (такой тетраэдр называется ортоцентрическим). Докажите, что точка пересечения медиан, точка пересечения высот и центр описанной сферы лежат на одной прямой.

Прислать комментарий

Решение

Пусть a и a1 , b и b1 , c и c1 – пары противоположных рёбер тетраэдра; α , β и γ соответственно – углы между ними ( α 90^o , β 90^o и γ 90^o ). Докажите, что из трёх величин aa1 cos α , bb1 cos β и cc1 cos γ одна равна сумме двух других.

Прислать комментарий

Решение

В правильной треугольной пирамиде SABC ( S – вершина) на ребре AC взята точка L так, что LC:AC=4:5 . Медианы грани SAB пересекаются в точке K . Сфера, центр которой лежит на прямой KL , проходит через точки B , C и пересекает прямую AB в точке P так, что BP=b . Найдите объём пирамиды SABC , если известно, что радиус сферы равен b .

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 66 67 68 69 70 71 72 >> [Всего задач: 2399]