Каталог по темам

Выбрано 20 задач

Даны отрезки a и b. Постройте такой отрезок x, что

$\displaystyle \root$ 4 $\displaystyle \of$ x = $\displaystyle \root$ 4 $\displaystyle \of$ a + $\displaystyle \root$ 4 $\displaystyle \of$ b.

Решение

Автор: Фольклор

p(x) – многочлен с целыми коэффициентами. Известно, что для некоторых целых a и b выполняется равенство: p(a) – p(b) = 1.
Докажите, что a и b различаются на 1.

Решение

На какое наименьшее число тетраэдров можно разбить куб?

Решение

Сколькими способами можно выбрать четырёх человек на четыре различные должности, если имеется девять кандидатов на эти должности?

Решение

Последовательность чисел x₀, x₁, x₂,...задается условиями

x₀ = 1, x_{n + 1} = a^x_n (n $\displaystyle \geqslant$ 0).

Найдите наибольшее число a, для которого эта последовательность имеет предел. Чему равен этот предел для такого a?

Решение

Докажите, что прямая, содержащая среднюю линию треугольника, параллельна стороне треугольника, а средняя линия треугольника равна половине этой стороны.

Решение

Можно ли разбить правильный треугольник на миллион многоугольников так, чтобы никакая прямая не пересекала более сорока из этих многоугольников?

Мы говорим, что прямая пересекает многоугольник, если она имеет с ним хотя бы одну общую точку.

Решение

Автор: Бона М.

В турнире участвуют 2m команд. В первом туре встретились некоторые m пар команд, во втором – другие m пар.
Докажите, что после этого можно выбрать m команд, никакие две из которых ещё не играли между собой.

Решение

Докажите, что вписанный угол равен половине соответствующего центрального угла (или дуги) окружности.

Решение

Углы при основании AD трапеции ABCD равны 2 $\alpha$ и 2 $\beta$ . Докажите, что трапеция описанная тогда и только тогда, когда ${\frac{BC}{AD}}$ = tg $\alpha$ tg $\beta$ .

Решение

Автор: Полянский А.

Из вершины A параллелограмма ABCD опущены высоты AM на BC и AN на CD. P – точка пересечения BN и DM. Докажите, что прямые AP и MN перпендикулярны.

Решение

Как в треугольнике ABC провести ломаную BDEFG (см. рисунок), чтобы все пять полученных треугольников имели одинаковые площади?

Решение

В окружности, радиус которой 1,4, определите расстояние от центра до хорды, если она отсекает дугу в 120°.

Решение

В окружность радиуса 5 вписан четырёхугольник ABCD, у которого угол D прямой, AB : BC = 3 : 4.
Найдите периметр четырёхугольника ABCD, если его площадь равна 44.

Решение

Две стороны треугольника равны 2 $\sqrt{2}$ и 3, площадь треугольника равна 3. Найдите третью сторону.

Решение

Через середины M и N рёбер соответственно AA1 и C1D1 параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 проведена плоскость параллельно диагонали BD основания. Постройте сечение параллелепипеда этой плоскостью. В каком отношении она делит диагональ A1C ?

Решение

Каких натуральных чисел от 1 до 1000000 (включительно) больше: чётных с нечётной суммой цифр или нечётных с чётной суммой цифр?

Решение

У выпуклых четырёхугольников ABCD и A'B'C'D' соответственные стороны равны. Доказать, что если $\angle$ A > $\angle$ A', то $\angle$ B < $\angle$ B', $\angle$ C > $\angle$ C' и $\angle$ D < $\angle$ D'.

Решение

Замкнутая пятизвенная ломаная образует равноугольную звезду (см. рис.).
Чему равен периметр внутреннего пятиугольника ABCDE, если длина исходной ломаной равна 1?

Решение

Медиана AD и биссектриса CE прямоугольного треугольника ABC (∠B = 90°) пересекаются в точке M.
Найдите площадь треугольника ABC, если CM = 8, ME = 5.

Решение

Задача 110965

Задача 110966

Задача 111684

Задача 116926

Задача 53514