На сторонах AB, BC, CD и DA выпуклого четырехугольника ABCD взяты точки K, L, M и N соответственно, причем AK : KB = DM : MC = и  BL : LC = AN : ND = . Пусть P — точка пересечения отрезков KM и LN. Докажите, что NP : PL = и  KP : PM = .

   Решение

Построить выпуклый четырёхугольник, зная длины всех сторон и отрезка, соединяющего середины диагоналей.

   Решение

Десяти ребятам положили в тарелки по 100 макаронин. Есть ребята не хотели и стали играть. Одним действием кто-то из детей перекладывает из своей тарелки по одной макаронине всем другим детям. После какого наименьшего количества действий у всех в тарелках может оказаться разное количество макаронин?

   Решение

Внутри цилиндра лежат два шара радиуса r и один шар радиуса 2r так, что каждый шар касается двух других, верхнего основания цилиндра и его боковой поверхности. Найдите радиус основания цилиндра.

   Решение

В прямоугольном треугольнике ABC отрезок BH является высотой, опущенной на гипотенузу, а точка L делит отрезок HC пополам. Найдите угол LBC, если известно, что AH = , а BL = 3

   Решение

Решите ребус:  АХ×УХ = 2001.

   Решение

Решите ребус:  БАО×БА×Б = 2002.

   Решение

На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC взяты точки A₁, B₁ и C₁. Докажите, что площадь одного из треугольников  AB₁C₁, A₁BC₁, A₁B₁C не превосходит:
а) S_ABC/4;
б)  S_A1B1C1.

   Решение

Три шара, среди которых имеется два одинаковых, касаются плоскости P и, кроме того, попарно касаются друг друга. Вершина прямого кругового конуса принадлежит плоскости P , а ось конуса перпендикулярна к этой плоскости. Все три шара лежат вне конуса, причем каждый из них касается некоторой образующей конуса. Найдите косинус угла между образующей конуса и плоскостью P , если известно, что в треугольнике с вершинами в точках касания шаров с плоскостью P величина одного из углов равна 150^o .

   Решение

Даны точки A(2;4), B(6; - 4) и C(- 8; - 1). Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.

   Решение

Докажите, что если в треугольной пирамиде сумма длин противоположных рёбер одна и та же для любой пары таких рёбер, то вершины этой пирамиды являются центрами четырёх шаров, попарно касающихся друг друга.

   Решение

Страница: << 13 14 15 16 17 18 19 >> [Всего задач: 257]      

Прямой круговой конус таков, что угол между его основанием и образующей равен arccos . Вне конуса, касаясь плоскости основания в точках B1 , B2 , B3 , лежат три шара, каждый из которых касаются двух других шаров и некоторой образующей конуса. Радиус меньшего шара равен 1. Кроме того, известно, что радиусы двух шаров равны между собой. Известно также, что треугольник B1B2B3 – прямоугольный. Найдите радиус основания конуса.

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что если в треугольной пирамиде сумма длин противоположных рёбер одна и та же для любой пары таких рёбер, то вершины этой пирамиды являются центрами четырёх шаров, попарно касающихся друг друга.

Прислать комментарий

Решение

Ребро правильного тетраэдра ABCD равно a . На ребре AB как на диаметре построена сфера. Найдите радиус шара, вписанного в трёхгранный угол тетраэдра с вершиной в точке A и касающегося построенной сферы.

Прислать комментарий

Решение

Внутри правильного тетраэдра ABCD расположены два шара радиусов 2R и 3R , касающиеся друг друга внешним образом, причём один шар вписан в трёхгранный угол тетраэдра с вершиной в точке A , а другой – в трёхгранный угол с вершиной в точке B . Найдите длину ребра этого тетраэдра.

Прислать комментарий

Решение

Внутри правильного тетраэдра с ребром a лежат четыре равных шара так, что каждый шар касается трёх других шаров и трёх граней тетраэдра. Найдите радиусы этих шаров.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 13 14 15 16 17 18 19 >> [Всего задач: 257]