Версия для печати
Убрать все задачи
Два концентрических круга поделены на 2
k равных секторов. Каждый сектор
выкрашен в белый или чёрный цвет. Доказать, что если белых и чёрных секторов
на каждом круге одинаковое количество, то можно сделать такой поворот, что по
крайней мере на половине длины окружности будут соприкасаться разноцветные
куски.
Решение
Найдите объём правильной шестиугольной пирамиды с высотой
h и углом
γ между соседними боковыми гранями.
Решение
На плоскости проведены n прямых, среди которых нет параллельных. Никакие три из них не пересекаются в одной точке. Докажите, что существует такая n-звенная несамопересекающаяся ломаная A0A1A2...An, что на каждой из n прямых лежит ровно по одному звену этой ломаной.
Решение
В пространстве имеются 30 ненулевых векторов. Доказать, что среди них
найдутся два, угол между которыми меньше 45°.
Решение
Шестиугольник ABCDEF вписан в окружность радиуса R с центром O, причём AB = CD = EF = R. Докажите, что точки попарного пересечения описанных окружностей треугольников BOC, DOE и FOA, отличные от точки O, являются вершинами правильного треугольника со стороной R.
Решение
Длины сторон выпуклого четырёхугольника не больше 7.
Докажите, что четыре круга с радиусами 5 и центрами
в вершинах четырёхугольника полностью покрывают
четырёхугольник.
Решение
Фильтр
