Версия для печати
Убрать все задачи

---

Выпуклый четырёхугольник ABCD таков, что  AB·CD = AD·BC.  Докажите, что –∠BAC + ∠CBD + ∠DCA + ∠ADB = 180°.

   Решение

---

На плоскости даны оси координат с одинаковым, но не обозначенным масштабом и график функции

y= sin x, x(0;α).
Как с помощью циркуля и линейки построить касательную к этому графику в заданной его точке, если: а) α(;π) ; б) α(0;) ?

   Решение

---

Через точку I пересечения биссектрис треугольника ABC проведена прямая, пересекающая стороны AB и BC в точках M и N соответственно. Треугольник BMN оказался остроугольным. На стороне AC выбраны точки K и L так, что  ∠ILA = ∠IMB,  ∠IKC = ∠INB.  Докажите, что
AM + KL + CN = AC.

   Решение

---

Пусть O – центр описанной окружности треугольника ABC. На сторонах AB и BC выбраны точки M и N соответственно, причём  2∠MON = ∠AOC.  Докажите, что периметр треугольника MBN не меньше стороны AC.

   Решение

---

Дан тетраэдр ABCD. Вписанная в него сфера σ касается грани ABC в точке T. Сфера σ' касается грани ABC в точке T' и продолжений граней ABD, BCD, CAD. Докажите, что прямые AT и AT' симметричны относительно биссектрисы угла BAC.

   Решение

---

Дана точка M(x;y). Найдите координаты точки, симметричной точке M относительно: а) оси OX; б) оси OY.

   Решение

---

В окружности с центром O проведены две параллельные хорды AB и CD. Окружности с диаметрами AB и CD пересекаются в точке P.
Доказать, что середина отрезка OP равноудалена от прямых AB и CD.

   Решение

---

Дан параллелограмм ABCD, в котором  AB = a,  AD = b.  Первая окружность имеет центр в вершине A и проходит через D, вторая имеет центр в C и проходит через D. Произвольная окружность с центром B пересекает первую окружность в точках M₁, N₁, а вторую – в точках M₂, N₂. Чему равно отношение  M₁N₁ : M₂N₂?

   Решение

---

Пусть a, b, c – длины сторон произвольного треугольника; p – полупериметр; r – радиус вписанной окружности. Докажите неравенство

   Решение

---

В треугольник ABC вписана окружность, касающаяся сторон AB, AC и BC в точках C₁, B₁ и A₁ соответственно. Пусть K – точка на окружности, диаметрально противоположная точке C₁, D – точка пересечения прямых B₁C₁ и A₁K. Докажите, что  CD = CB₁.

   Решение

---

На основании BC треугольника ABC найти точку M так, чтобы окружности, вписанные в треугольники ABM и AMC взаимно касались.

   Решение

---

Медиана DM треугольника DEF равна половине стороны EF. Один из углов, образованных при пересечении стороны EF биссектрисой DL, равен 55°.
Найдите углы треугольника DEF.

   Решение

---

Пусть  $x_1 \le \dots \le x_n$.  Докажите неравенство $$\bigg( \sum \limits_{i,j=1}^n |x_i-x_j|\bigg)^2 \le \frac{2 (n^2-1)}{3} \sum \limits_{i,j=1}^n (x_i-x_j)^2.$$ Докажите, что оно обращается в равенство только если числа $x_1, \dots, x_n$ образуют арифметическую прогрессию.

   Решение

---

В окружности с центром O проведены три равные хорды AB, CD и PQ (см. рисунок). Докажите, что MOK равен половине угла BLD.

   Решение

---

По кругу расставлены цифры 1, 2, 3,..., 9 в произвольном порядке. Каждые три цифры, стоящие подряд по часовой стрелке, образуют трёхзначное число. Найдите сумму всех девяти таких чисел. Зависит ли она от порядка, в котором записаны цифры?

   Решение

---

Из четырёх цифр, отличных от нуля, составлены два четырёхзначных числа: самое большое и самое маленькое из возможных. Сумма получившихся чисел оказалась равна 11990. Какие числа могли быть составлены?

   Решение

---

В параллелограмме ABCD диагональ АС в два раза больше стороны АВ. На стороне BC выбрана точка K так, что  ∠KDB = ∠BDA.
Найдите отношение  BK : KC.

   Решение

---

Через вершину А остроугольного треугольника АВС проведены касательная АК к его описанной окружности, а также биссектрисы АN и AM внутреннего и внешнего углов при вершине А (точки М, K и N лежат на прямой ВС). Докажите, что  MK = KN.

   Решение

---

Bыпуклый n-угольник P, где  n > 3,  разрезан на равные треугольники диагоналями, не пересекающимися внутри него.
Каковы возможные значения n, если n-угольник вписанный?

   Решение

Страница: << 55 56 57 58 59 60 61 >> [Всего задач: 352]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 111855

Темы:   [ Свойства биссектрис, конкуррентность ] [ Две касательные, проведенные из одной точки ] [ Вспомогательные равные треугольники ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Через точку I пересечения биссектрис треугольника ABC проведена прямая, пересекающая стороны AB и BC в точках M и N соответственно. Треугольник BMN оказался остроугольным. На стороне AC выбраны точки K и L так, что  ∠ILA = ∠IMB,  ∠IKC = ∠INB.  Докажите, что
AM + KL + CN = AC.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 115316

Темы:   [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ] [ Четырехугольники (прочее) ] [ Вспомогательные равные треугольники ] [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

В выпуклом четырёхугольнике ABCD выполняются равенства:  ∠B = ∠C  и  CD = 2AB.  На стороне BC выбрана такая точка X, что  ∠BAX = ∠CDA.
Докажите, что  AX = AD.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116072

Темы:   [ Вписанные и описанные многоугольники ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ] [ Равные треугольники. Признаки равенства (прочее) ] [ Разрезания на части, обладающие специальными свойствами ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Bыпуклый n-угольник P, где  n > 3,  разрезан на равные треугольники диагоналями, не пересекающимися внутри него.
Каковы возможные значения n, если n-угольник вписанный?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116670

Темы:   [ Касательные прямые и касающиеся окружности (прочее) ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Вспомогательные равные треугольники ] [ Медиана, проведенная к гипотенузе ] [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8

Через точку Y на стороне AB равностороннего треугольника ABC проведена прямая, пересекающая сторону BC в точке Z, а продолжение стороны CA за точку A – в точке X. Известно, что  XY = YZ  и  AY = BZ.  Докажите, что прямые XZ и BC перпендикулярны.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 117007

Темы:   [ Треугольники с углами $60^\circ$ и $120^\circ$ ] [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ] [ Вспомогательные равные треугольники ] [ Углы между биссектрисами ]

Сложность: 3+ Классы: 5,6,7

Биссектрисы треугольника ABC пересекаются в точке I,  ∠ABC = 120°.  На продолжениях сторон AB и CB за точку B отмечены соответственно точки P и Q так, что  AP = CQ = AC.  Докажите, что угол PIQ – прямой.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 55 56 57 58 59 60 61 >> [Всего задач: 352]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями