Тема:
Все темы
>>
Геометрия
>>
Планиметрия
>>
Треугольники
>>
Замечательные точки и линии в треугольнике
>>
Средняя линия треугольника
Фильтр
Выбрано 10 задач Убрать все задачи
В прямоугольнике АВСD точка Р – середина стороны АВ, а точка Q – основание перпендикуляра, опушенного из вершины С на PD.
Докажите, что BQ = BC.
Уравнение xn + a1xn–1 + ... + an–1x + an = 0 с целыми ненулевыми коэффициентами имеет n различных целых корней.
Докажите, что если каждые два корня взаимно просты, то и числа an–1 и an взаимно просты.
Ребро правильного тетраэдра ABCD равно a, точка K ─ середина ребра AB, точка E лежит на ребре CD и EC : ED = 3 : 1, точка F ─ центр грани ABC. Найдите угол между прямыми BC и KE, расстояние между этими прямыми и радиус сферы, проходящей через точки A, B, E и F.
Высота прямоугольного треугольника, опущенная на его гипотенузу, делит
биссектрису острого угла в отношении 4 : 3, считая от вершины.
Найдите величину этого угла.
В окружность вписан прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой AB. Пусть K – середина дуги BC, не содержащей точку A, N – середина отрезка AC, M – точка пересечения луча KN с окружностью. В точках A и C проведены касательные к окружности, которые пересекаются в точке E. Докажите, что
∠EMK = 90°.
В неравнобедренном остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA1 и CC1, H – точка пересечения высот, O – центр описанной окружности, B0 – середина стороны AC. Прямая BO пересекает сторону AC в точке P, а прямые BH и A1C1 пересекаются в точке Q. Докажите, что прямые HB0 и PQ параллельны.
В четырёхугольнике ABCD стороны AB, BC и CD равны,
M – середина стороны AD. Известно, что ∠BMC = 90°.
Найдите угол между диагоналями четырёхугольника ABCD.
В розетку электросети подключены приборы, общее сопротивление которых составляет R=90 Ом. Параллельно с ними в розетку предполагается подключить электрообогреватель. Определите (в омах) наименьшее возможное сопротивление Ry этого электрообогревателя, если известно, что при параллельном соединении двух проводников с сопротивлениями Rx и Ry их общее сопротивление даётся формулой R= , а для нормального функционирования электросети, общее сопротивление в ней должно быть не меньше 40 Ом.
Ребро правильного тетраэдра ABCD равно a, точка K ─ середина ребра AB, точка E лежит на ребре CD и EC : ED = 1 : 3, точка F ─ центр грани ABC. Найдите угол между прямыми BC и KE, расстояние между этими прямыми и радиус сферы, проходящей через точки A, B, E и F.
Высоты AA1, CC1 остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H. Точка Q симметрична середине стороны AC относительно AA1. Точка P – середина отрезка A1C1. Докажите, что ∠QPH = 90°.
Задачи Страница: << 60 61 62 63 64 65 66 >> [Всего задач: 330]
Задача 56887 |
|
Точка E – середина той дуги AB описанной окружности треугольника ABC, на которой лежит точка C; C1 – середина стороны AB. Из точки E опущен перпендикуляр EF на AC. Докажите, что:
а) прямая C1F делит пополам периметр треугольника ABC;
б) три такие прямые, построенные для каждой стороны треугольника,
пересекаются в одной точке.
|
|
Решение |
Задача 116901 |
|
Высоты AA1, CC1 остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H. Точка Q симметрична середине стороны AC относительно AA1. Точка P – середина отрезка A1C1. Докажите, что ∠QPH = 90°.
|
|
Решение |
Задача 53127 |
|
|
Около треугольника ABC описана окружность с центром в точке
O. Касательная к окружности в точке C пересекается с прямой,
делящей пополам угол B треугольника, в точке K, причём угол BKC
равен половине разности утроенного угла A и угла C треугольника.
Сумма сторон AC и AB равна
2 + , а сумма расстояний от
точки O до сторон AC и AB равна 2. Найдите радиус окружности.
|
|
|
Решение |
Задача 53128 |
|
|
Около треугольника ABC описана окружность с центром в точке
O. Касательная к окружности в точке C пересекается с прямой,
делящей пополам угол B треугольника, в точке K, причём угол BKC
равен половине угла C треугольника. Сторона AB на длиннее
стороны AC, а расстояние от точки O до стороны AC на 1 больше
расстояния от точки O до стороны AB. Найдите радиус окружности.
|
|
|
Решение |
Задача 53129 |
|
|
Около треугольника ABC описана окружность с центром в точке O. Касательная к окружности в точке B пересекается с прямой AC в точке K, причём угол AKB равен разности учетверённого угла A и угла B треугольника. Сторона AB в два раза длиннее стороны AC, а расстояние от точки O до стороны AC на 1 больше расстояния от точки O до стороны AB. Найдите радиус окружности.
|
|
|
Решение |
Страница: << 60 61 62 63 64 65 66 >> [Всего задач: 330]
