Фильтр
Выбрано 25 задач Убрать все задачи
Бился Иван-Царевич со Змеем Горынычем, трёхглавым и трёххвостым. Одним ударом он мог срубить либо одну голову, либо один хвост, либо две головы, либо два хвоста. Но, если срубить один хвост, то вырастут два; если срубить два хвоста – вырастет голова; если срубить голову, то вырастает новая голова, а если срубить две головы, то не вырастет ничего. Как должен действовать Иван-Царевич, чтобы срубить Змею все головы и все хвосты как можно быстрее?
Основания трапеции равны a и b, углы при большем основании равны 30o и 45o. Найдите площадь трапеции.
В треугольнике ABC проведены высоты AE, BM и CP. Известно, что EM параллельна AB и EP параллельна AC. Докажите, что MP параллельна BC.
Докажите признак равенства треугольников по углу, биссектрисе этого угла и стороне, прилежащей к этому углу.
Доказать, что произведение шести последовательных натуральных чисел не может быть равно 776965920.
Правильный треугольник со стороной 1 разрезан произвольным образом на равносторонние треугольники, в каждый из которых вписан круг.
Найдите сумму площадей этих кругов.
На стороне ВС равностороннего треугольника АВС отмечена точка D. Точка Е такова, что треугольник BDE – также равносторонний.
Докажите, что CE = AD.
На каждой стороне правильного треугольника взято по точке. Стороны треугольника с вершинами в этих точках перпендикулярны сторонам исходного треугольника. В каком отношении каждая из взятых точек делит сторону исходного треугольника?
Докажите, что в любом треугольнике сумма длин его медиан
больше
периметра, но меньше периметра.
Докажите, что треугольник ABC является правильным тогда и только тогда, когда при повороте на 60° (либо по часовой стрелке, либо против) относительно точки A вершина B переходит в вершину C.
Можно ли раздать шести детям 40 конфет так, чтобы у всех было разное количество конфет и у каждых двух вместе было менее половины всех конфет?
Дан правильный треугольник ABC. На стороне AB отмечена точка K, на стороне BC — точки L и M (L лежит на отрезке BM) так, что KL = KM, BL = 2, AK = 3. Найдите CM.
Точка M лежит на стороне AC равностороннего треугольника ABC со стороной 3a, причём AM : MC = 1 : 2. Точки K и L, расположенные на сторонах соответственно AB и BC являются вершинами другого равностороннего треугольника MKL. Найдите его стороны.
Докажите, что уравнение x! y! = z! имеет бесконечно много решений в натуральных числах, больших 1.
Про четырехугольник известно, что существуют две прямые, каждая из которых разбивает его на два равнобедренных прямоугольных треугольника. Обязательно ли он является квадратом?
Найдите все натуральные m и n, для которых m! + 12 = n².
Три средних линии треугольника разбивают его на четыре части. Площадь одной из них равна S. Найдите площадь данного треугольника.
Определение. Пусть α = (k, j, i) – набор целых неотрицательных чисел, k ≥ j ≥ i. Через Tα(x, y, z) будем обозначать симметрический многочлен от трёх переменных, который есть по определению сумма одночленов вида xaybzc по всем шести перестановкам (a, b, c) набора (k, j, i).
Аналогично определяются многочлены Tα для произвольного количества переменных/чисел в наборе α.
Запишите через многочлены вида Tα неравенства
а) x4y + y4x ≥ x³y² + x²y³;
б) x³yz + y³xz + z³xy ≥ x²y²z + y²z²x + z²x²y.
Саша написал на доске несколько двузначных чисел в порядке возрастания, а после этого заменил одинаковые цифры на одинаковые буквы, а разные цифры – на разные буквы. У него получилось (в том же порядке)
АС, АР, ЯР, ЯК, ОК, ОМ, УМ, УЖ, ИЖ, ИА
Восстановите цифры.В прямоугольном треугольнике медианы, проведённые из вершин острых углов, равны и
. Найдите гипотенузу треугольника.
Вершины M и N равностороннего треугольника BMN лежат соответственно на сторонах AD и CD квадрата ABCD со стороной, равной a . Найдите MN .
Докажите, что в прямоугольной трапеции разность квадратов диагоналей равна разности квадратов оснований.
В треугольнике ABC угол A равен 60°, а биссектриса AM, медиана BN и высота CL пересекаются в одной точке. Найдите остальные углы треугольника.
Остап Бендер в интервью шахматному журналу о сеансе одновременной игры в Васюках сообщил, что в одной из партий у него осталось фигур в 3 раза меньше, чем у соперника, и в 6 раз меньше, чем свободных клеток на доске, а в другой партии фигур у него осталось в 5 раз меньше, чем у соперника, и в 10 раз меньше, чем свободных клеток на доске, и все-таки он сумел выиграть обе партии. Можно ли верить его рассказу?
Жители города Глупова пользуются купюрами только в 35 и 80 тыров. Сможет ли рассчитаться продавец с покупателем, который хочет купить
a) шоколадку за 57 тыров;
б) булочку за 15 тыров?
Задачи Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 366]
Задача 32984 |
|
|
Жители города Глупова пользуются купюрами только в 35 и 80 тыров. Сможет ли рассчитаться продавец с покупателем, который хочет купить
a) шоколадку за 57 тыров;
б) булочку за 15 тыров?
|
|
Решение |
Задача 34994 |
|
|
Докажите, что уравнение x! y! = z! имеет бесконечно много решений в натуральных числах, больших 1.
|
|
|
Решение |
Задача 35282 |
|
|
Решить в целых числах уравнение xy = x + y.
|
|
Решение |
Задача 35334 |
|
|
Докажите, что уравнение 1/а + 1/b + 1/c + 1/d + 1/e + 1/f = 1 не имеет решений в нечётных натуральных числах.
|
|
|
Решение |
Задача 35600 |
|
|
Остап Бендер в интервью шахматному журналу о сеансе одновременной игры в Васюках сообщил, что в одной из партий у него осталось фигур в 3 раза меньше, чем у соперника, и в 6 раз меньше, чем свободных клеток на доске, а в другой партии фигур у него осталось в 5 раз меньше, чем у соперника, и в 10 раз меньше, чем свободных клеток на доске, и все-таки он сумел выиграть обе партии. Можно ли верить его рассказу?
|
|
|
Решение |
Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 366]
