Тема:
Все темы
>>
Геометрия
>>
Планиметрия
>>
Окружности
>>
Касательные прямые и касающиеся окружности
>>
Прямые, касающиеся окружностей
>>
Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть
Фильтр
Выбрано 26 задач Убрать все задачи
Медианы треугольника ABC разрезают его на 6 треугольников. Докажите, что
центры описанных окружностей этих треугольников лежат на одной окружности.
Докажите, что если вершины шестиугольника ABCDEF лежат на одной конике, то
точки пересечения продолжений его противоположных сторон (т. е. прямых AB и
DE, BC и EF, CD и AF) лежат на одной прямой (Паскаль).
Школьник хочет вырезать из квадрата размером 2n×2n наибольшее количество прямоугольников размером 1×(n + 1). Найти это количество для каждого натурального значения n.
Докажите, что произвольное уравнение третьей степени z³ + Az² + Bz + C = 0 при помощи линейной замены переменной z = x + β можно привести к виду x3 + px + q = 0.
В шестиугольнике, описанном около окружности, даны пять последовательных сторон — a, b, c, d, e. Найдите шестую сторону.
В таблице
0 1 2 3 ... 9
9 0 1 2 ... 8
8 9 0 1 ... 7
...
1 2 3 4 ... 0
отмечено 10 элементов так, что в каждой строке и каждом столбце отмечен один
элемент.
Докажите, что среди отмеченных элементов есть хотя бы два равных.
Можно ли невыпуклый четырехугольник разрезать двумя прямыми на 6
частей?
Биссектрисы $AI$ и $CI$ пересекают описанную окружность треугольника $ABC$ в точках $A_1$, $C_1$ соответственно. Описанная окружность треугольника $AIC_1$ пересекает сторону $AB$ в точке $C_0$; аналогично определим $A_0$. Докажите, что точки $A_0,$ $A_1$, $C_0$, $C_1$ лежат на одной прямой.
Известно, что a5 – a3 + a = 2. Докажите, что a6 > 3.
Можно ли разрезать правильный треугольник на 1000000 выпуклых
многоугольников так, чтобы любая прямая имела общие точки не
более чем с 40 из них?
Каждое неотрицательное целое число представимо, причём единственным образом, в виде
где x и y – целые неотрицательные числа. Докажите это.
Параллелограмм $ABCD$ разделён диагональю $BD$ на два равных треугольника. В треугольник $ABD$ вписан правильный шестиугольник так, что две его соседние стороны лежат на $AB$ и $AD$, а одна из вершин – на $BD$. В треугольник $CBD$ вписан правильный шестиугольник так, что две его соседние вершины лежат на $CB$ и $CD$, а одна из сторон – на $BD$. Какой из шестиугольников больше?
Даны три различных ненулевых числа. Петя и Вася составляют квадратные уравнения, подставляя эти числа в качестве коэффициентов, но каждый раз в новом порядке. Если у уравнения есть хотя бы один корень, то Петя получает фантик, а если ни одного, то фантик достаётся Васе. Первые три фантика достались Пете, а следующие два — Васе. Можно ли определить, кому достанется последний, шестой фантик?
Докажите, что выпуклый 22-угольник нельзя разрезать диагоналями на 7 пятиугольников.
Внутри прямоугольного листа бумаги вырезали n прямоугольных дыр со сторонами, параллельными краям листа. На какое наименьшее число прямоугольных частей можно гарантированно разрезать этот дырявый лист? (Дыры не перекрываются и не соприкасаются.)
Проверьте, что многочлены Чебышёва Tn(x) и Un(x) (см. задачу
61099)
удовлетворяют начальным условиям
T0(x) = 1, T1(x) = x; U0(x) = 1, U1(x) = 2x, и рекуррентным формулам Tn+1(x) = 2xTn(x) – Tn–1(x), Un+1(x) = 2xUn(x) – Un–1(x).
Точки сторон правильного треугольника раскрашены в два цвета. Докажите, что найдётся прямоугольный треугольник с вершинами одного цвета.
Точка удалена от прямой MN на расстояние a. Данным радиусом r описана окружность так, что она проходит через точку A и касается прямой MN. Найдите расстояние между полученной точкой касания и данной точкой A.
Последовательность {an} определяется правилами: a0 = 9, .
Докажите, что в десятичной записи числа a10 содержится не менее 1000 девяток.
а) Определение (смотри в справочнике)
функций gk,l(x) не позволяет вычислять их значения при x = 1. Но, поскольку функции gk,l(x) являются многочленами, они определены и при x = 1. Докажите равенство
б) Какие свойства биномиальных коэффициентов получаются, если в свойства б) – г) из задачи 61522 подставить значение x = 1?
С помощью циркуля и линейки постройте треугольник по стороне, противолежащему углу и радиусу вписанной окружности.
Докажите, что если a + b + c = 0, то 2(a5 + b5 + c5) = 5abc(a2 + b2 + c2).
Объясните поведение следующей десятичной дроби и найдите её период: 1/243 = 0,004115226337448...
На каждой стороне параллелограмма взято по точке. Площадь четырёхугольника с вершинами в этих точках равна половине площади параллелограмма. Докажите, что хотя бы одна из диагоналей четырёхугольника параллельна одной из сторон параллелограмма.
Последовательность a0, a1, a2, ... образована по закону: a0 = a1 = 1, an+1 = anan–1 + 1. Доказать, что число a1964 не делится на 4.
В равнобедренном треугольнике ABC угол B — прямой, а AB = BC = 2. Окружность касается обоих катетов в их серединах и высекает на гипотенузе хорду DE. Найдите площадь треугольника BDE.
Задачи Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 149]
Задача 53269 |
|
|
Окружность, проходящая через точку D и касающаяся сторон AB и BC равнобедренной трапеции ABCD, пересекает стороны AD и CD соответственно в точках M и N. Известно, что AM : DM = 1 : 3, CN : DN = 4 : 3. Найдите основание BC, если AB = 7 и AD = 6.
|
|
Решение |
Задача 54673 |
|
|
Одна из двух прямых, проходящих через точку M, касается
окружности в точке C, а вторая пересекает эту окружность в точках A
и B, причём A — середина отрезка BM. Известно, что MC = 2 и
BMC = 45o. Найдите радиус окружности.
|
|
|
Решение |
Задача 52447 |
|
|
В равнобедренном треугольнике ABC угол B — прямой, а AB = BC = 2. Окружность касается обоих катетов в их серединах и высекает на гипотенузе хорду DE. Найдите площадь треугольника BDE.
|
|
Решение |
Задача 52448 |
|
|
Центр окружности, касающейся стороны BC треугольника ABC в точке B и проходящей через точку A, лежит на отрезке AC. Найдите площадь треугольника ABC, если известно, что BC = 6 и AC = 9.
|
|
|
Решение |
Задача 53233 |
|
|
В равнобедренном треугольнике ABC известны, что AC = 4, AB = BC = 6. Биссектриса угла C пересекает сторону AB в точке D. Через точку D проведена окружность, касающаяся стороны AC в её середине и пересекающая отрезок AD в точке E. Найдите площадь треугольника DEC.
|
|
|
Решение |
Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 149]
