Версия для печати
Убрать все задачи

---

Существует ли непостоянный многочлен $P(x)$, который можно представить в виде суммы  $a(x) + b(x)$,  где $a(x)$ и $b(x)$ – квадраты многочленов с действительными коэффициентами,
  а) ровно одним способом?
  б) ровно двумя способами?
Способы, отличающиеся лишь порядком слагаемых, считаются одинаковыми.

   Решение

---

С помощью циркуля и линейки постройте треугольник по углу, противолежащей стороне и разности двух других сторон.

   Решение

---

В выпуклом 2002-угольнике провели несколько диагоналей, не пересекающихся внутри 2002-угольника. В результате 2002-угольник разделился на 2000 треугольников. Могло ли случиться, что ровно у половины этих треугольников все стороны являются диагоналями этого 2002-угольника?

   Решение

---

Постройте треугольник ABC по углам A и B и разности сторон AC и BC.

   Решение

---

Пять отрезков таковы, что из любых трех из них можно составить треугольник. Докажите, что хотя бы один из этих треугольников остроугольный.

   Решение

---

Все коэффициенты многочлена равны 1, 0 или –1.
Докажите, что все его действительные корни (если они существуют) заключены в отрезке  [–2, 2].

   Решение

---

Докажите, что середины всех хорд данной длины, проведённых в данной окружности, лежат на некоторой окружности.

   Решение

---

Докажите, что треугольник ABC остроугольный тогда и только тогда, когда длины его проекций на три различных направления равны.

   Решение

---

Докажите, что радикальная ось двух пересекающихся окружностей проходит через точки их пересечения.

   Решение

---

Постройте треугольник АВС по углу А и медианам, проведенным из вершин В и С.

   Решение

---

Прямоугольный треугольник ABC движется по плоскости так, что его вершины B и C скользят по сторонам данного прямого угла. Доказать, что множеством точек A является отрезок и найти его длину.

   Решение

---

С помощью циркуля и линейки постройте треугольник по стороне, притиволежащему углу и медиане, проведённой из вершины одного из прилежащих углов.

   Решение

---

С помощью циркуля и линейки постройте треугольник по стороне, противолежащему углу и радиусу вписанной окружности.

   Решение

---

Многочлен p и число a таковы, что для любого числа x верно равенство  p(x) = p(a – x).
Докажите, что p(x) можно представить в виде многочлена от  (x – ^a/₂)².

   Решение

---

Стороны AB и CD выпуклого четырёхугольника ABCD площади S не параллельны.
Найдите геометрическое место точек X, лежащих внутри четырёхугольника, для которых  S_ABX + S_CDX = ^S/₂.

   Решение

---

При каких целых значениях m число Р = 1 + 2m + 3m² + 4m³ + 5m⁴ + 4m⁵ + 3m⁶ + 2m⁷ + m⁸ является квадратом целого числа?

   Решение

---

Даны окружность $\omega$ и точки $A$ и $B$ на ней. Пусть $C$ – произвольная точка на одной из дуг $AB$ этой окружности, $CL$ – биссектриса треугольника $ABC$, окружность $BCL$ пересекает $AC$ в $E$, а $CL$ пересекает $BE$ в $F$. Найдите геометрическое место центров окружностей $AFC$.

   Решение

---

Верно ли, что два треугольника ABC и A'B'C' равны, если  AB =A'B',  BC = B'C', и  ∠A = ∠A'?

   Решение

---

Пятиугольник ABCDE вписан в окружность, причём  ∠B + ∠E = ∠C + ∠D.  Докажите, что  ∠CAD < ^π/₃ < ∠A.

   Решение

---

Через данную точку окружности проведите хорду, которая бы делилась данной хордой пополам.

   Решение

---

Продолжения сторон AB и CD четырехугольника ABCD пересекаются в точке F, а продолжения сторон BC и AD — в точке E. Докажите, что окружности с диаметрами AC, BD и EF имеют общую радикальную ось, причем на ней лежат ортоцентры треугольников  ABE, CDE, ADF и BCF.

   Решение

---

С помощью циркуля и линейки постройте треугольник по радиусу описанной окружности и высоте и медиане, проведённым из одной вершины.

   Решение

---

Точки A, B, C, D лежат на одной прямой. Докажите, что если треугольники ABE₁ и ABE₂ равны, то треугольники CDE₁ и CDE₂ тоже равны.

   Решение

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 352]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 78469

Темы:   [ Вспомогательные равные треугольники ] [ Свойства симметрий и осей симметрии ]

Сложность: 3- Классы: 7,8

Из вершины B произвольного треугольника ABC проведены вне треугольника прямые BM и BN, так что  ∠ABM = ∠CBN.  Точки A' и C' симметричны точкам A и C относительно прямых BM и BN (соответственно). Доказать, что  AC' = A'C.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 35437

Темы:   [ Равные треугольники. Признаки равенства (прочее) ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Верно ли, что два треугольника ABC и A'B'C' равны, если  AB =A'B',  BC = B'C', и  ∠A = ∠A'?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 52534

Темы:   [ Равные треугольники. Признаки равенства (прочее) ] [ Концентрические окружности ] [ ГМТ - окружность или дуга окружности ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Докажите, что середины всех хорд данной длины, проведённых в данной окружности, лежат на некоторой окружности.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 53326

Тема:   [ Равные треугольники. Признаки равенства ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Точки A, B, C, D лежат на одной прямой. Докажите, что если треугольники ABE₁ и ABE₂ равны, то треугольники CDE₁ и CDE₂ тоже равны.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 53330

Тема:   [ Равные треугольники. Признаки равенства ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Треугольники ABC и BAD равны, причём точки C и D лежат по разные стороны от прямой AB. Докажите, что:
  а) треугольники CBD и DAC равны;
  б) прямая CD делит отрезок AB пополам.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 352]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями