Каталог по темам

Выбрано 13 задач

Вес каждой гирьки набора – нецелое число грамм. Ими можно уравновесить любой целый вес от 1 г до 40 г (гири кладутся на одну чашку весов, измеряемый вес – на другую). Каково наименьшее число гирь в таком наборе?

Решение

В треугольнике ABC из вершины A проведена прямая, пересекающая сторону BC в точке D, лежащей между точками B и C, причём BD : BC = $\alpha$ ( $\alpha$ < 1). Через точку D проведена прямая, параллельная стороне AB и пересекающая сторону AC в точке E. Найдите отношение площадей треугольников ABD и ECD.

Решение

Докажите, что при x≠πn (n– целое) sin x и cos x рациональны тогда и только тогда, когда число tg ${\dfrac{x}{2}}$ рационально.

Решение

Докажите, что если квадрат числа начинается с 0,999...9 (100 девяток), то и само число начинается с 0,999...9 (100 девяток).

Решение

Сторона BC параллелограмма ABCD вдвое больше стороны AB. Биссектрисы углов A и B пересекают прямую CD в точках M и N, причём MN = 12.
Найдите стороны параллелограмма.

Решение

Автор: Курляндчик Л.Д.

Докажите, что для любых положительных чисел а₁, ..., a_n справедливо неравенство

Решение

Автор: Волчкевич М.А.

На боковых сторонах $AB$ и $BC$ равнобедренного остроугольного треугольника $ABC$ выбраны точки $M$ и $K$ . Отрезки $CM$ и $AK$ пересекаются в точке $E$ . Оказалось, что $\angle MEA = \angle ABC$ . Докажите, что середины всевозможных отрезков $MK$ лежат на одной прямой.

Решение

Авторы: Богданов И.И., Кноп К.А.

У царя Гиерона есть 11 металлических слитков, неразличимых на вид; царь знает, что их веса (в некотором порядке) равны 1, 2, ..., 11 кг. Ещё у него есть мешок, который порвётся, если в него положить больше 11 кг. Архимед узнал веса всех слитков и хочет доказать Гиерону, что первый слиток имеет
вес 1 кг. За один шаг он может загрузить несколько слитков в мешок и продемонстрировать Гиерону, что мешок не порвался (рвать мешок нельзя!). За какое наименьшее число загрузок мешка Архимед может добиться требуемого?

Решение

а) В треугольниках ABC и A'B'C' равны стороны AC и A'C', углы при вершинах B и B' и биссектрисы углов B и B'.
Докажите, что эти треугольники равны (точнее говоря, треугольник ABC равен треугольнику A'B'C' или треугольнику C'B'A').
б) Через точку D биссектрисы BB₁ угла ABC проведены прямые AA₁ и CC₁ (точки A₁ и C₁ лежат на сторонах треугольника).
Докажите, что если AA₁ = CC₁, то AB = BC.

Решение

Какое наименьшее число гирь необходимо для того, чтобы иметь возможность взвесить любое число граммов от 1 до 100 на чашечных весах, если гири можно класть только на одну чашку весов?

Решение

Автор: Mudgal A.

В треугольнике $ABC$ точка $M$ – середина дуги $BAC$ описанной окружности $\Omega$ , $I$ – центр вписанной окружности, $N$ – вторая точка пересечения прямой $AI$ с $\Omega$ , $E$ – точка касания стороны $BC$ с соответствующей вневписанной окружностью, $Q$ – вторая точка пересечения окружности $IMN$ с прямой, проходящей через $I$ и параллельной $BC$ . Докажите, что прямые $AE$ и $NQ$ пересекаются на $\Omega$ .

Решение

Докажите, что если ортоцентр делит высоты треугольника в одном и том же отношении, то этот треугольник — правильный.

Решение

Равные отрезки AB и CD пересекаются в точке O, причём AO = OD. Докажите равенство треугольников ABC и DCB.

Решение

Задача 52956

Задача 53304

Задача 53331

Задача 53333

Задача 53479