Фильтр
Выбрано 11 задач Убрать все задачи
Докажите, что треугольник со сторонами a, b и c
остроугольный тогда и только тогда, когда
a2 + b2 + c2 > 8R2.
На плоскости отмечено 2000 точек. Можно ли провести прямую, по каждую сторону от которой лежит 1000 точек?
С помощью циркуля и линейки постройте треугольник по двум сторонам и высоте, опущенной на третью.
Пусть O – точка пересечения диагоналей выпуклого четырёхугольника ABCD.
Докажите, что если равны периметры треугольников ABO, BCO, CDO, DAO, то ABCD – ромб.
Найдите такие многочлены P(x) и Q(x), что (x + 1)P(x) + (x4 + 1)Q(x) = 1.
Решите неравенство .
В выпуклом 2009-угольнике проведены все диагонали. Прямая пересекает 2009-угольник, но не проходит через его вершины.
Докажите, что прямая пересекает чётное число диагоналей.
Внутри выпуклого 100-угольника выбрана точка X, не лежащая ни на одной его стороне или диагонали. Исходно вершины многоугольника не отмечены. Петя и Вася по очереди отмечают ещё не отмеченные вершины 100-угольника, причём Петя начинает и первым ходом отмечает сразу две вершины, а далее каждый своим очередным ходом отмечает по одной вершине. Проигрывает тот, после чьего хода точка X будет лежать внутри многоугольника с отмеченными вершинами. Докажите, что Петя может выиграть, как бы ни ходил Вася.
Постройте треугольник АВС по углу А и медианам, проведенным из вершин В и С.
Решите в целых числах неравенство: x² < 3 – 2cos πx.
Даны две окружности с центрами O1 и O2 . Докажите, что геометрическим местом точек M , для которых касательные к данным окружностям равны, есть прямая, перпендикулярная O1O2 , или часть такой прямой. В каких случаях искомым геометрическим местом является вся прямая?
Задачи Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 125]
Задача 61191[Радикальная ось двух окружностей] |
|
|
Докажите, что геометрическое место точек M, cтепень которых
относительно окружностей S1 и S2 одинакова, является прямой.
Такая прямая называется радикальной осью окружностей S1 и
S2.
|
|
Решение |
Задача 61192[Радикальный центр трёх окружностей] |
|
|
На плоскости даны три окружности S1, S2 и S3. Докажите, что если две радикальных оси этих окружностей пересекаются в точке Q, то третья радикальная ось также проходит через эту точку.
Точка Q называется радикальным центром окружностей S1, S2 и S3.
|
|
|
Решение |
Задача 56717 |
|
|
На плоскости даны три попарно пересекающиеся окружности. Через точки пересечения каждых двух из них проведена прямая.
Докажите, что эти три прямые пересекаются в одной точке или параллельны.
|
|
|
Решение |
Задача 67379 |
|
|
На одной из медиан треугольника $ABC$ нашлась такая точка $P$, что $\angle PAB=\angle PBC=\angle PCA$. Докажите, что на другой медиане найдется такая точка $Q$, что $\angle QBA=\angle QCB=\angle QAC$.
|
|
|
Решение |
Задача 53606 |
|
|
Даны две окружности с центрами O1 и O2 . Докажите, что геометрическим местом точек M , для которых касательные к данным окружностям равны, есть прямая, перпендикулярная O1O2 , или часть такой прямой. В каких случаях искомым геометрическим местом является вся прямая?
|
|
Решение |
Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 125]
