Версия для печати
Убрать все задачи

---

Даны выпуклый многоугольник $M$ и простое число $p$. Оказалось, что существует ровно $p$ способов разбить $M$ на равносторонние треугольники со стороной 1 и квадраты со стороной 1.
Докажите, что длина одной из сторон многоугольника $M$ равна  $p$ – 1.

   Решение

---

В равнобедренном треугольнике ABC (AB = BC) биссектрисы BD и AF пересекаются в точке O. Отношение площади треугольника DOA к площади треугольника BOF равно . Найдите отношение .

   Решение

---

В правильной треугольной пирамиде SABC ( S – вершина, SA = 2 ) точка D – середина ребра SB . Расстояние от точки C до прямой AD равно . Найдите объём пирамиды. Дана сфера радиуса с центром в точке C . Рассматриваются всевозможные правильные тетраэдры MNPQ такие, что точки P и Q лежат на прямой AD , а прямая MN касается сферы в одной из точек отрезка MN . Найдите наименьшее значение длины ребра рассматриваемых тетраэдров.

   Решение

---

В окружности проведены хорды AB и BC, причём AB = , BC = 3, ABC = 60^o. Найдите длину той хорды окружности, которая делит угол ABC пополам.

   Решение

---

По стороне правильного треугольника катится окружность радиуса, равного его высоте. Докажите, что угловая величина дуги, высекаемой на окружности сторонами треугольника, всегда равна 60⁰.

   Решение

---

Тройки чисел (x_n, y_n, z_n) (n 1) строятся по правилу: x₁ = 2, y₁ = 4, z₁ = 6/7,

а) Докажите, что указанный процесс построения троек может быть неограниченно продолжен.
б) Может ли на некотором шаге получится тройка чисел (x_n, y_n, z_n), для которой x_n + y_n + z_n = 0?

   Решение

---

Найдите двузначное число, которое вдвое больше произведения своих цифр.

   Решение

---

Пусть H — точка пересечения высот треугольника ABC. Докажите, что треугольник с вершинами в центрах описанных окружностей треугольников BHC, AHC и AHB равен треугольнику ABC.

   Решение

Страница: << 6 7 8 9 10 11 12 >> [Всего задач: 74]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 55139

Темы:   [ Перегруппировка площадей ] [ Конкуррентность высот. Углы между высотами. ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Из середины каждой стороны остроугольного треугольника опущены перпендикуляры на две другие стороны. Докажите, что площадь ограниченного этими перпендикулярами шестиугольника равна половине площади треугольника.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116182

Темы:   [ Средняя линия треугольника ] [ Конкуррентность высот. Углы между высотами. ] [ Теоремы Чевы и Менелая ]

Сложность: 4- Классы: 9,10

Дан треугольник АВС. Точка О₁ – центр прямоугольника ВСDE, построенного так, что сторона DE прямоугольника содержит вершину А треугольника. Точки О₂ и О₃ являются центрами прямоугольников, построенных аналогичным образом на сторонах АС и АВ соответственно. Докажите, что прямые АО₁, ВО₂ и СО₃ пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 52866

Темы:   [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Конкуррентность высот. Углы между высотами. ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Докажите, что высоты остроугольного треугольника являются биссектрисами углов его ортотреугольника (т.е. треугольника с вершинами в основаниях высот данного).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 53718

Темы:   [ Теорема синусов ] [ Конкуррентность высот. Углы между высотами. ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Пусть H — точка пересечения высот треугольника ABC. Докажите, что треугольник с вершинами в центрах описанных окружностей треугольников BHC, AHC и AHB равен треугольнику ABC.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108620

Темы:   [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Конкуррентность высот. Углы между высотами. ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AE и CD. Различные точки F и G на стороне AC таковы, что DF || BC и EG || AB. Докажите, что точки D, E, F и G лежат на одной окружности.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 6 7 8 9 10 11 12 >> [Всего задач: 74]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями