Сумма n последовательных натуральных чисел – простое число. Найдите все n, при которых это возможно.

   Решение

В прямоугольном треугольнике $ABC$ (угол $C$ прямой) $BC=2AC$, $CH$ – высота, $O_1$ и $O_2$ – центры окружностей, вписанных соответственно в треугольники $ACH$ и $BCH$, а $O$ – центр окружности, вписанной в треугольник $ABC$. Пусть $H_1$, $H_2$ и $H_0$ – проекции точек $O_1$, $O_2$ и $O$ на гипотенузу. Докажите, что $H_1H=HH_0=H_0H_2$.

   Решение

Дано несколько выпуклых многоугольников, причем нельзя провести прямую так, чтобы она не пересекала ни одного многоугольника и по обе стороны от нее лежал хотя бы один многоугольник. Докажите, что эти многоугольники можно заключить в многоугольник, периметр которого не превосходит суммы их периметров.

   Решение

Незнайка рисует замкнутые пути внутри прямоугольника 5×8, идущие по диагоналям прямоугольников 1×2. На рисунке изображён пример пути, проходящего по 12 таким диагоналям. Помогите Незнайке нарисовать путь как можно длиннее.

   Решение

На двух параллельных прямых a и b выбраны точки A₁, A₂, ..., A_m и B₁, B₂, ..., B_n соответственно и проведены все отрезки вида A_iB_j
(1 ≤ i ≤ m,  1 ≤ j ≤ n).  Сколько будет точек пересечения, если известно, что никакие три из этих отрезков в одной точке не пересекаются?

   Решение

Какое наименьшее натуральное число не является делителем 50!?

   Решение

В центре квадратного пруда плавает ученик. Внезапно к вершине квадрата подошёл учитель. Учитель не умеет плавать, но бегает в 4 раза быстрее, чем ученик плавает. Ученик бегает быстрее. Сможет ли он убежать?

   Решение

В треугольнике ABC  AB = AC,  угол A – тупой, BD – биссектриса, AM – высота, E – основание перпендикуляра, опущенного из D на сторону BC. Из точки D восставлен перпендикуляр к BD, который пересекает сторону BC в точке F. Известно, что  ME = FC = a.  Найдите площадь треугольника ABC.

   Решение

С помощью циркуля и линейки по данному отрезку a, постройте отрезок b, где

а) a = , b = 1;

б) a = 7, b = .

   Решение

Страница: << 16 17 18 19 20 21 22 >> [Всего задач: 159]      

Центр окружности, вписанной в прямоугольную трапецию, удалён от концов её боковой стороны на расстояния 15 и 20. Найдите стороны трапеции.

Прислать комментарий

Решение

В прямоугольной трапеции лежат две окружности. Одна из них, радиуса 4, вписана в трапецию, а вторая, радиуса 1, касается двух сторон трапеции и первой окружности. Найдите площадь трапеции.

Прислать комментарий

Решение

К окружности проведены касательные, касающиеся её в концах диаметра AB. Произвольная касательная к окружности пересекает эти касательные в точках K и M. Докажите, что произведение AK ^. BM постоянно.

Прислать комментарий

Решение

В равнобедренном треугольнике ABC (AB = BC) сторона AC = 10. В угол ABC вписана окружность с диаметром 15 так, что она касается стороны AC в её середине. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.

Прислать комментарий

Решение

С помощью циркуля и линейки по данному отрезку a, постройте отрезок b, где

а) a = , b = 1;

б) a = 7, b = .

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 16 17 18 19 20 21 22 >> [Всего задач: 159]