Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Тема: Все темы >> Геометрия >> Планиметрия >> Геометрические неравенства >> Неравенства для элементов треугольника. >> Неравенства с высотами
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 15 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Пусть α , β , γ и δ  — градусные меры углов некоторого выпуклого четырехугольника. Всегда ли из этих четырех чисел можно выбрать три числа так, чтобы они выражали длины сторон некоторого треугольника (например, в метрах)?

Вниз   Решение

Докажите, что высота неравнобедренного прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, меньше половины гипотенузы.

ВверхВниз   Решение

Дан треугольник ABC. Окружность радиуса R касается прямых AB и BC в точках A и C и пересекает медиану BD в точке L, причём  BL = 5/9 BD.
Найдите площадь треугольника.

ВверхВниз   Решение

Авторы: Женодаров Р.Г., Богданов И.И.

Даны 19 карточек. Можно ли на каждой из карточек написать ненулевую цифру так, чтобы из этих карточек можно было сложить ровно одно 19-значное число, кратное на 11?

ВверхВниз   Решение

В треугольнике две высоты не меньше сторон, на которые они опущены. Найдите углы треугольника.

ВверхВниз   Решение

Сумма углов n-угольника. Докажите, что произвольный n-угольник (не обязательно выпуклый) можно разрезать на треугольники непересекающимися диагоналями. Выведите отсюда, что сумма углов в произвольном n-угольнике равна (n - 2)$ \pi$.

ВверхВниз   Решение

Докажите, что в любом треугольнике большей стороне соответствует меньшая высота.

ВверхВниз   Решение

Найдите сумму внешних углов выпуклого n-угольника, взятых по одному при каждой вершине.

ВверхВниз   Решение

Пусть a, b, c, d – различные цифры. Докажите, что  cdcdcdcd  не делится на  aabb.

ВверхВниз   Решение

Решите уравнение xx4 = 4 (x > 0).

ВверхВниз   Решение

При каких x и y число  xxyy  является квадратом натурального числа?

ВверхВниз   Решение

Пусть M — центр масс n-угольника A1...An; M1,..., Mn — центры масс (n - 1)-угольников, полученных из этого n-угольника выбрасыванием вершин A1,..., An соответственно. Докажите, что многоугольники A1...An и  M1...Mn гомотетичны.

ВверхВниз   Решение

Докажите, что длину биссектрисы la можно вычислить по следующим формулам:
а)  la = $ \sqrt{4p(p-a)bc/(b+c)^2}$;
б)  la = 2bc cos($ \alpha$/2)/(b + c);
в)  la = 2R sin$ \beta$sin$ \gamma$/cos(($ \beta$ - $ \gamma$)/2);
г)  la = 4p sin($ \beta$/2)sin($ \gamma$/2)/(sin$ \beta$ + sin$ \gamma$).

ВверхВниз   Решение

Докажите, что любой выпуклый многоугольник $ \Phi$ содержит два непересекающихся многоугольника $ \Phi_{1}^{}$ и $ \Phi_{2}^{}$, подобных $ \Phi$ с коэффициентом 1/2.

ВверхВниз   Решение

Радиус вписанной окружности треугольника равен $ {\frac{1}{3}}$. Докажите, что наибольшая высота треугольника не меньше 1.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 >> [Всего задач: 17]      

  с решениями  

Задача 108030

Темы:   [ Неравенства с высотами ]
[ Прямоугольные треугольники ]
Сложность: 3
Классы: 8,9

В треугольнике две высоты не меньше сторон, на которые они опущены. Найдите углы треугольника.

Прислать комментарий     Решение

Задача 55182

Темы:   [ Неравенства с высотами ]
[ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

Докажите, что в любом треугольнике большей стороне соответствует меньшая высота.

Прислать комментарий     Решение

Задача 55211

Темы:   [ Неравенства с высотами ]
[ Неравенство треугольника ]
[ Площадь треугольника (через полупериметр и радиус вписанной или вневписанной окружности) ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9

Пусть h1 и h2 — высоты треугольника, r — радиус вписанной окружности. Докажите, что $ {\frac{1}{2r}}$ < $ {\frac{1}{h_{1}}}$ + $ {\frac{1}{h_{2}}}$ < $ {\frac{1}{r}}$.

Прислать комментарий     Решение

Задача 55212

Темы:   [ Неравенства с высотами ]
[ Неравенства с описанными, вписанными и вневписанными окружностями ]
[ Площадь треугольника (через полупериметр и радиус вписанной или вневписанной окружности) ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9

Радиус вписанной окружности треугольника равен $ {\frac{1}{3}}$. Докажите, что наибольшая высота треугольника не меньше 1.

Прислать комментарий     Решение

Задача 55231

Темы:   [ Неравенства с высотами ]
[ Неравенство Коши ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9

Пусть h1, h2, h3 – высоты треугольника, r – радиус вписанной окружности. Докажите, что  h1 + h2 + h3 ≥ 9r.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 >> [Всего задач: 17]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .