Каталог по темам

Выбрано 17 задач

Расстояния от центра описанной окружности остроугольного треугольника до его сторон равны d_a, d_b и d_c. Докажите, что d_a + d_b + d_c = R + r.

Решение

Автор: Чикин В.

С помощью циркуля и линейки постройте выпуклый четырёхугольник по серединам его трёх равных сторон.

Решение

Автор: Фольклор

Круг радиуса 1 покрыт семью одинаковыми кругами. Докажите, что их радиус не меньше ½.

Решение

Сумма трёх натуральных чисел, являющихся точными квадратами, делится на 9.
Докажите, что из них можно выбрать два, разность которых также делится на 9.

Решение

Дан трехгранный угол с вершиной O. Можно ли найти такое плоское сечение ABC, чтобы углы OAB, OBA, OBC, OCB, OAC, OCA были острыми?

Решение

Две окружности разных радиусов касаются в точке C одной прямой и расположены по одну сторону от неё. Отрезок CD – диаметр большей окружности. Из точки D проведены две прямые, касающиеся меньшей окружности в точках A и B. Прямая, проходящая через точки C и A, образует с общей касательной к окружностям в точке C угол 75° и пересекает большую окружность в точке M. Известно, что AM = . Найдите площадь фигуры, ограниченной отрезками касательных DA, DB и дугой ACB меньшей окружности.

Решение

Биссектриса угла A треугольника ABC пересекает описанную окружность в точке D. Докажите, что AB + AC $\leq$ 2AD.

Решение

Автор: Фольклор

Игра происходит на бесконечной плоскости. Играют двое: один передвигает одну фишку-волка, другой – 50 фишек-овец. После хода волка ходит одна из овец, затем, после следующего хода волка, опять какая-нибудь из овец и т. д. И волк, и овцы передвигаются за один ход в любую сторону не более, чем на один метр. Верно ли, что при любой первоначальной позиции волк поймает хотя бы одну овцу?

Решение

На сторонах произвольного остроугольного треугольника ABC как на диаметрах построены окружности. При этом образуется три к внешнихк криволинейных треугольника и один к внутреннийк (рис.). Докажите, что если из суммы площадей к внешнихк треугольников вычесть площадь к внутреннегок треугольника, то получится удвоенная площадь треугольника ABC.

Решение

Даны 3 скрещивающиеся прямые. Докажите, что они будут общими перпендикулярами к своим общим перпендикулярам.

Решение

Докажите. что если в трапеции ABCD середину M одной боковой стороны AB соединить с концами другой боковой стороны CD, то площадь полученного треугольника CMD составит половину площади трапеции.

Решение

Докажите, что n³ – n делится на 24 при любом нечётном n.

Решение

Точки A', B' и C' симметричны некоторой точке P относительно сторон BC, CA и AB треугольника ABC.
а) Докажите, что описанные окружности треугольников AB'C', A'BC', A'B'C и ABC имеют общую точку.
б) Докажите, что описанные окружности треугольников A'BC, AB'C, ABC' и A'B'C' имеют общую точку Q.
в) Пусть I, J, K и O — центры описанных окружностей треугольников A'BC, AB'C, ABC' и A'B'C'. Докажите, что QI : OI = QJ : OJ = QK : OK.

Решение

Четырехугольник ABCD вписан в окружность с центром O. Точка X такова, что $\angle$ BAX = $\angle$ CDX = 90^o. Докажите, что точка пересечения диагоналей четырехугольника ABCD лежит на прямой XO.

Решение

а) Докажите, что в выпуклый многоугольник площади S и периметра P можно поместить круг радиуса S/P.
б) Внутри выпуклого многоугольника площади S₁ и периметра P₁ расположен выпуклый многоугольник площади S₂ и периметра P₂. Докажите, что 2S₁/P₁ > S₂/P₂.

Решение

Автор: Нилов Ф.

В сегмент, ограниченный хордой и дугой AB окружности, вписана окружность ω с центром I. Обозначим середину указанной дуги AB через M, а середину дополнительной дуги через N. Из точки N проведены две прямые, касающиеся ω в точках C и D. Противоположные стороны AD и BC четырёхугольника ABCD пересекаются в точке Y, а его диагонали пересекаются в точке X. Докажите, что точки X, Y, I и M лежат на одной прямой.

Решение

Докажите, что для любого натурального n существует выпуклый многоугольник, имеющий ровно n осей симметрии.

Решение

Задача 55579

Задача 57066

Задача 57070

Задача 57079

Задача 57080