Каталог по темам

Выбрано 14 задач

а) Пусть $\varepsilon$ = ${\frac{1}{2}}$ + ${\frac{i\sqrt{3}}{2}}$ . Докажите, что точки a, b, c являются вершинами правильного треугольника тогда и только тогда, когда a + $\varepsilon^{2}_{}$ b + $\varepsilon^{4}_{}$ c = 0 или a + $\varepsilon^{4}_{}$ b + $\varepsilon^{2}_{}$ c = 0.
б) Докажите, что точки a, b, c являются вершинами правильного треугольника тогда и только тогда, когда a² + b² + c² = ab + bc + ac.

Решение

Во вписанном четырёхугольнике ABCD прямая Симсона точки A относительно треугольника BCD перпендикулярна прямой Эйлера треугольника BCD. Докажите, что прямая Симсона точки B относительно треугольника ACD перпендикулярна прямой Эйлера треугольника ACD.

Решение

Основанием параллелепипеда служит квадрат. Одна из вершин верхнего основания равноудалена от всех вершин нижнего основания и находится на расстоянии b от этого основания. Сторона основания равна a . Найдите полную поверхность параллелепипеда.

Решение

В окружность вписаны две равнобедренные трапеции с соответственно параллельными сторонами. Докажите, что диагональ одной из них равна диагонали другой трапеции.

Решение

Автор: Скопенков М.Б.

Целые ненулевые числа a₁, a₂, ..., a_n таковы, что равенство

выполнено при всех целых значениях x, входящих в область определения дроби, стоящей в левой части.
a) Докажите, что число n чётно.
б) При каком наименьшем n такие числа существуют?

Решение

Постройте треугольник по высоте, опущенной на одну из сторон, и медианам, проведённым к двум другим сторонам.

Решение

Трёхчлен ax² + bx + c при всех целых x является точным квадратом. Доказать, что тогда ax² + bx + c = (dx + e)².

Решение

Найдите геометрическое место точек X, лежащих внутри трапеции ABCD ( BC || AD) или на её сторонах, если известно, что S_XAB = S_XCD.

Решение

Докажите, что в любом треугольнике точка H пересечения высот (ортоцентр), центр O описанной окружности и точка M пересечения медиан (центр тяжести) лежат на одной прямой, причём точка M расположена между точками O и H, и MH = 2MO.

Решение

Даны треугольник ABC и прямая l, проходящая через центр O вписанной окружности. Обозначим через A₁ (соответственно B₁, C₁) основание перпендикуляра, опущенного на прямую l из точки A (соответственно B, C), а через A₂ (соответственно B₂, C₂) обозначим точку вписанной окружности, диаметрально противоположную точке касания со стороной BC (соответственно CA, AB). Докажите, что прямые A₁A₂, B₁B₂, C₁C₂, пересекаются в одной точке, и эта точка лежит на вписанной окружности.

Решение

Углы треугольника равны α, β и γ, а периметр равен P. Найдите стороны треугольника.

Решение

а) Докажите, что все окружности и прямые задаются уравнениями вида

Az $\displaystyle \bar{z}$ + cz + $\displaystyle \bar{c}$ $\displaystyle \bar{z}$ + D = 0,

где A и D — вещественные числа, а c — комплексное число. Наоборот, докажите, что любое уравнение такого вида задает либо окружность, либо прямую, либо точку, либо пустое множество.
б) Докажите, что при инверсии окружности и прямые переходят в окружности и прямые.

Решение

Докажите, что многочлен вида x²⁰⁰y²⁰⁰ + 1 нельзя представить в виде произведения многочленов от одного только x и одного только y.

Решение

Найдите геометрическое место точек, сумма расстояний от которых до двух данных прямых имеет данную величину.

Решение

Задача 55778

Задача 57158

Задача 64739

Задача 64869

Задача 55702