Существует ли 1000000 таких различных натуральных чисел, что никакая сумма нескольких из этих чисел не является полным квадратом?

   Решение

Две окружности пересекаются в точках A и B. Через точку A проведены диаметры AC и AD этих окружностей. Найдите модуль разности отрезков BC и BD, если расстояние между центрами окружностей равно a, а центры окружностей лежат по одну сторону от общей хорды AB.

   Решение

Среди 25 жирафов, каждые два из которых различного роста, проводится конкурс "Кто выше?". За один раз на сцену выходят пять жирафов, а жюри справедливо (согласно росту) присуждает им места с первого по пятое. Каким образом надо организовать выходы жирафов, чтобы после семи выходов определить первого, второго и третьего призёров конкурса?

   Решение

Найдите косинусы углов трапеции с основаниями 3 и 7 и боковыми сторонами 2 и 5.

   Решение

Докажите, что медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 2:1, считая от вершины треугольника.

   Решение

Имеется несколько чисел, каждое из которых меньше чем 1951. Общее наименьшее кратное любых двух из них больше чем 1951.
Доказать, что сумма обратных величин этих чисел меньше 2.

   Решение

Составьте параметрические уравнения прямой, проходящей через точку M(-2;0;3) перпендикулярно плоскости, проходящей через точки A(-3;0;1) , P(-1;2;5) и Q(3;-4;1) .

   Решение

В турнире участвовало 11 шахматистов: 4 – из России и 7 зарубежных. Каждый шахматист сыграл с каждым по две партии (выигрыш – 1 очко, ничья – 0,5 очка, поражение – 0). По окончании турнира оказалось, что все участники набрали различное количество очков, причем сумма очков, набранных россиянами, равна сумме очков, набранных иностранцами. Могло ли в тройке призеров не оказаться ни одного россиянина?

   Решение

Можно ли замостить плоскость параболами, среди которых нет равных? (Требуется, чтобы каждая точка плоскости принадлежала ровно одной параболе и чтобы ни одна парабола не переводилась ни в какую другую параболу движением.)

   Решение

Докажите, что при инверсии сохраняется угол между окружностями (между окружностью и прямой, между прямыми).

   Решение

Пусть L – точка пересечения симедиан остроугольного треугольника ABC, а BH – его высота. Известно, что  ∠ALH = 180° – 2∠A.
Докажите, что  ∠CLH = 180° – 2∠C.

   Решение

Внутри треугольника ABC взята произвольная точка O и построены точки A₁, B₁ и C₁, симметричные O относительно середин сторон BC, CA и AB. Докажите, что треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны и прямые AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке.

   Решение

На продолжении боковой стороны AB равнобедренного треугольника ABC за вершину A взята точка D, причём AD = 2AB. Известно, что BAC = 120^o. Докажите, что треугольник BDC — равнобедренный.

   Решение

Высотой пятиугольника назовём отрезок перпендикуляра, опущенного из вершины на противоположную сторону, а медианой – отрезок, соединяющий вершину с серединой противоположной стороны. Известно, что в некотором пятиугольнике равны десять длин – длины всех высот и всех медиан. Докажите, что этот пятиугольник – правильный.

   Решение

В треугольнике ABC проведены высоты AA₁ и BB₁ и биссектрисы AA₂ и BB₂; вписанная окружность касается сторон BC и AC в точках A₃ и B₃. Докажите, что прямые  A₁B₁, A₂B₂ и A₃B₃ пересекаются в одной точке или параллельны.

   Решение

В треугольнике ABC  AL_a и AM_a – внутренняя и внешняя биссектрисы угла A. Пусть ω_a – окружность, симметричная описанной окружности Ω_a треугольника AL_aM_a относительно середины BC. Окружность ω_b определена аналогично. Докажите, что ω_a и ω_b касаются тогда и только тогда, когда треугольник ABC прямоугольный.

   Решение

Среди всех треугольников, вписанных в данную окружность, найдите тот, у которого максимальна сумма квадратов длин сторон.

   Решение

На сетке из равносторонних треугольников построен угол ACB (см. рисунок). Найдите его величину.

   Решение

Точки A и A₁, лежащие внутри окружности с центром O, симметричны относительно точки O. Лучи AP и A₁P₁ сонаправлены, лучи AQ и A₁Q₁ тоже сонаправлены. Докажите, что точка пересечения прямых P₁Q и PQ₁ лежит на прямой AA₁. (Точки P, P₁, Q и Q₁ лежат на окружности.)

   Решение

Страница: << 33 34 35 36 37 38 39 >> [Всего задач: 508]      

Даны треугольник ABC и некоторая точка T. Пусть P и Q — основания перпендикуляров, опущенных из точки T на прямые AB и AC соответственно, a R и S — основания перпендикуляров, опущенных из точки A на прямые TC и TB соответственно. Докажите, что точка пересечения X прямых PR и QS лежит на прямой BC.

Прислать комментарий

Решение

В треугольнике ABC проведены высоты AA₁ и BB₁ и биссектрисы AA₂ и BB₂; вписанная окружность касается сторон BC и AC в точках A₃ и B₃. Докажите, что прямые  A₁B₁, A₂B₂ и A₃B₃ пересекаются в одной точке или параллельны.

Прислать комментарий

Решение

Четырехугольник ABCD вписан в окружность S; X — произвольная точка, M и N — вторые точки пересечения прямых XA и XD с окружностью S. Прямые DC и AX, AB и DX пересекаются в точках E и F. Докажите, что точка пересечения прямых MN и EF лежит на прямой BC.

Прислать комментарий

Решение

Четырехугольник ABCD вписан в окружность с центром O. Точка X такова, что BAX = CDX = 90^o. Докажите, что точка пересечения диагоналей четырехугольника ABCD лежит на прямой XO.

Прислать комментарий

Решение

Точки A и A₁, лежащие внутри окружности с центром O, симметричны относительно точки O. Лучи AP и A₁P₁ сонаправлены, лучи AQ и A₁Q₁ тоже сонаправлены. Докажите, что точка пересечения прямых P₁Q и PQ₁ лежит на прямой AA₁. (Точки P, P₁, Q и Q₁ лежат на окружности.)

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 33 34 35 36 37 38 39 >> [Всего задач: 508]