На сторонах выпуклого n-угольника внешним образом построены правильные n-угольники. Докажите, что их центры образуют правильный n-угольник тогда и только тогда, когда исходный n-угольник аффинно правильный.

   Решение

Исходно на доске написаны многочлены  x³ – 3x² + 5  и  x² – 4x.  Если на доске уже написаны многочлены  f(x) и g(x), разрешается дописать на неё многочлены  f(x) ± g(x),  f(x)g(x),  f(g(x))  и  cf(x),  где c – произвольная (не обязательно целая) константа. Может ли на доске после нескольких операций появиться многочлен вида  xⁿ – 1  (при натуральном n)?

   Решение

Найдите радиус окружности, описанной около треугольника со сторонами 5 и 8 и углом между ними 60^o.

   Решение

Докажите, что у равнобедренного треугольника:
  а) биссектрисы, проведённые из вершин при основании, равны;
  б) медианы, проведённые из тех же вершин, также равны.

   Решение

В шестиугольнике $A_1A_2A_3A_4A_5A_6$ никакие четыре вершины не лежат на одной окружности, а диагонали $A_1A_4$, $A_2A_5$ и $A_3A_6$ пересекаются в одной точке. Обозначим через $l_i$ радикальную ось окружностей $A_iA_{i+1}A_{i-2}$ и $A_iA_{i-1}A_{i+2}$ (мы считаем, что точки $A_i$ и $A_{i+6}$ совпадают). Докажите, что прямые $l_i$, $i=1,\ldots,6$, пересекаются в одной точке.

   Решение

Дан вписанный $n$-угольник. Оказалось что середины всех его сторон лежат на одной окружности. Стороны $n$-угольника отсекают от этой окружности $n$ дуг, лежащих вне $n$-угольника. Докажите, что эти дуги можно покрасить в красный и синий цвет так, чтобы сумма длин красных дуг равнялась сумме длин синих.

   Решение

Докажите, что предельная точка пучка является общей точкой окружностей ортогонального пучка, и наоборот.

   Решение

На сторонах аффинно правильного многоугольника A₁A₂...A_n с центром O внешним образом построены квадраты A_{j + 1}A_jB_jC_{j + 1} (j = 1,..., n). Докажите, что отрезки B_jC_j и OA_j перпендикулярны, а их отношение равно 21 - cos(2/n).

   Решение

Докажите, что любая окружность пучка либо пересекает радикальную ось в двух фиксированных точках (эллиптический пучок), либо касается радикальной оси в фиксированной точке (параболический пучок), либо не пересекает радикальную ось (гиперболический пучок).

   Решение

Площадь треугольника ABC равна S, BAC = , AC = b. Найдите BC.

   Решение

С помощью циркуля и линейки постройте треугольник по углу, биссектрисе, проведённой из вершины этого угла, и радиусу вписанной окружности.

   Решение

Отображение $f$ ставит в соответствие каждому невырожденному треугольнику на плоскости окружность ненулевого радиуса, причем выполняются следующие условия:

– Если произвольное подобие $\sigma$ переводит треугольник $\Delta_1$ в $\Delta_2$, то $\sigma$ переводит окружность $f(\Delta_1)$ в $f(\Delta_2)$.

– Для любых четырех точек общего положения $A$, $B$, $C$, $D$ окружности $f(ABC)$, $f(BCD)$, $f(CDA)$ и $f(DAB)$ имеют общую точку.

Докажите, что для любого треугольника $\Delta$ окружность $f(\Delta)$ совпадает с окружностью девяти точек треугольника $\Delta$ .

   Решение

Основание наклонной призмы – равносторонний треугольник со стороной a . Одно из боковых рёбер равно b и образует с прилежащими сторонами основания углы 45^o . Найдите боковую поверхность призмы.

   Решение

Пусть многочлен  P(x) = xⁿ + a_n–1x^n–1 + ... + a₁x + a₀  имеет корни  x₁, x₂, ..., x_n,  причем  |x₁| > |x₂| > ... > |x_n|.  В задаче  60965 был предъявлен способ построения многочлена Q(x) степени n, корнями которого являются числа     На основе этого рассуждения Лобачевский придумал метод для приближенного поиска корней многочлена P(x). Он заключается в следующем. Строится такая последовательность многочленов  P₀(x), P₁(x), P₂(x), ...,  что  P₀(x) = P(x)  и многочлен P_k(x) имеет корни     Пусть     Докажите, что

  а)  

  б)  

   Решение

Даны окружность S и точка M вне ее. Через точку M проводятся всевозможные окружности S₁, пересекающие окружность S; X — точка пересечения касательной в точке M к окружности S₁ с продолжением общей хорды окружностей S и S₁. Найдите ГМТ X.

   Решение

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 85]      

Найдите геометрическое место точек X, лежащих внутри трапеции ABCD ( BC || AD) или на её сторонах, если известно, что S_XAB = S_XCD.

Прислать комментарий

Решение

Даны окружность S и точка M вне ее. Через точку M проводятся всевозможные окружности S₁, пересекающие окружность S; X — точка пересечения касательной в точке M к окружности S₁ с продолжением общей хорды окружностей S и S₁. Найдите ГМТ X.

Прислать комментарий

Решение

Даны две непересекающиеся окружности. Найдите геометрическое место точек центров окружностей, делящих пополам данные окружности (т. е. пересекающих их в диаметрально противоположных точках).

Прислать комментарий

Решение

Внутри окружности взята точка A. Найдите геометрическое место точек пересечения касательных к окружности, проведенных через концы всевозможных хорд, содержащих точку A.

Прислать комментарий

Решение

В треугольнике $ABC$ $I$ – центр вписанной окружности, $D$ – произвольная точка на стороне $BC$, серединный перпендикуляр к отрезку $AD$ пресекает прямые $BI$ и $CI$ в точках $F$ и $E$ соответственно. Найдите геометрическое место ортоцентров треугольников $EIF$.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 85]