Версия для печати
Убрать все задачи

---

На доске нарисован выпуклый 2011-угольник. Петя последовательно проводит в нём диагонали так, чтобы каждая вновь проведённая диагональ пересекала по внутренним точкам не более одной из проведённых ранее диагоналей. Какое наибольшее количество диагоналей может провести Петя?

   Решение

---

На отрезке  [0, 2002]  отмечены его концы и  n – 1 > 0  целых точек так, что длины отрезков, на которые разбился отрезок  [0, 2002],  взаимно просты в совокупности. Разрешается разделить любой отрезок с отмеченными концами на n равных частей и отметить точки деления, если они все целые. (Точку можно отметить второй раз, при этом она остаётся отмеченной.) Можно ли, повторив несколько раз эту операцию, отметить все целые точки на отрезке?

   Решение

---

В парке растет 10000 деревьев, посаженных квадратно-гнездовым способом (100 рядов по 100 деревьев). Какое наибольшее число деревьев можно срубить, чтобы выполнялось следующее условие: если встать на любой пень, то не будет видно ни одного другого пня? (Деревья можно считать достаточно тонкими.)

   Решение

Страница: << 236 237 238 239 240 241 242 >> [Всего задач: 1371]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 98555

Темы:   [ Параллельный перенос (прочее) ] [ Геометрия на клетчатой бумаге ] [ Центральная симметрия помогает решить задачу ] [ Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита ] [ Экстремальные свойства треугольника (прочее) ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 5- Классы: 9,10,11

На координатной плоскости расположили треугольник так, что его сдвиги на векторы с целочисленными координатами не перекрываются.
  а) Может ли площадь такого треугольника быть больше ½?
  б) Найдите наибольшую возможную площадь такого треугольника.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109736

Темы:   [ Степень вершины ] [ Раскраски ] [ Принцип крайнего (прочее) ]

Сложность: 5- Классы: 9,10,11

В стране 2001 город, некоторые пары городов соединены дорогами, причём из каждого города выходит хотя бы одна дорога и нет города, соединённого дорогами со всеми остальными. Назовём множество городов D доминирующим, если каждый не входящий в D город соединён дорогой с одним из городов множества D. Известно, что в каждом доминирующем множестве хотя бы k городов. Докажите, что страну можно разбить на  2001 – k  республик так, что никакие два города из одной республики не будут соединены дорогой.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 57075

Темы:   [ Правильные многоугольники ] [ Раскраски ] [ Поворот помогает решить задачу ] [ Принцип крайнего (прочее) ] [ Векторы помогают решить задачу ]

Сложность: 5 Классы: 9

Вершины правильного n-угольника окрашены в несколько цветов так, что точки каждого цвета служат вершинами правильного многоугольника.
Докажите, что среди этих многоугольников найдутся два равных.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 58088

Темы:   [ Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.) ] [ Геометрия на клетчатой бумаге ]

Сложность: 5 Классы: 7,8,9

В парке растет 10000 деревьев, посаженных квадратно-гнездовым способом (100 рядов по 100 деревьев). Какое наибольшее число деревьев можно срубить, чтобы выполнялось следующее условие: если встать на любой пень, то не будет видно ни одного другого пня? (Деревья можно считать достаточно тонкими.)

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 58102

Темы:   [ Принцип Дирихле (площадь и объем) ] [ Геометрия на клетчатой бумаге ] [ Теорема Минковского ]

Сложность: 5 Классы: 8,9,10

Дана бесконечная клетчатая бумага и фигура, площадь которой меньше площади клетки. Докажите, что эту фигуру можно положить на бумагу, не накрыв ни одной вершины клетки.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 236 237 238 239 240 241 242 >> [Всего задач: 1371]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями