Докажите, что треугольник со сторонами a, b и c остроугольный тогда и только тогда, когда  a² + b² + c² > 8R².

   Решение

На плоскости отмечено 2000 точек. Можно ли провести прямую, по каждую сторону от которой лежит 1000 точек?

   Решение

С помощью циркуля и линейки постройте треугольник по двум сторонам и высоте, опущенной на третью.

   Решение

Пусть O – точка пересечения диагоналей выпуклого четырёхугольника ABCD.
Докажите, что если равны периметры треугольников ABO, BCO, CDO, DAO, то ABCD – ромб.

   Решение

Найдите такие многочлены P(x) и Q(x), что  (x + 1)P(x) + (x⁴ + 1)Q(x) = 1.

   Решение

Решите неравенство   .

   Решение

В выпуклом 2009-угольнике проведены все диагонали. Прямая пересекает 2009-угольник, но не проходит через его вершины.
Докажите, что прямая пересекает чётное число диагоналей.

   Решение

Внутри выпуклого 100-угольника выбрана точка X, не лежащая ни на одной его стороне или диагонали. Исходно вершины многоугольника не отмечены. Петя и Вася по очереди отмечают ещё не отмеченные вершины 100-угольника, причём Петя начинает и первым ходом отмечает сразу две вершины, а далее каждый своим очередным ходом отмечает по одной вершине. Проигрывает тот, после чьего хода точка X будет лежать внутри многоугольника с отмеченными вершинами. Докажите, что Петя может выиграть, как бы ни ходил Вася.

   Решение

Постройте треугольник АВС по углу А и медианам, проведенным из вершин В и С.

   Решение

Решите в целых числах неравенство:  x² < 3 – 2cos πx.

   Решение

Даны две окружности с центрами O1 и O2 . Докажите, что геометрическим местом точек M , для которых касательные к данным окружностям равны, есть прямая, перпендикулярная O1O2 , или часть такой прямой. В каких случаях искомым геометрическим местом является вся прямая?

   Решение

Пусть a, b и c — комплексные числа, лежащие на единичной окружности с центром в нуле. Докажите, что комплексное число (a + b + c - bc) соответствует основанию высоты, опущенной из вершины a на сторону bc.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 49]      

Докажите, что треугольники abc и a'b'c' собственно подобны, тогда и только тогда, когда

Прислать комментарий

Решение

Пусть a и b — комплексные числа, лежащие на окружности с центром в нуле, u — точка пересечения касательных к этой окружности в точках a и b. Докажите, что u = 2ab/(a + b).

Прислать комментарий

Решение

Пусть a — комплексное число, лежащее на единичной окружности S с центром в нуле, t — вещественное число (точка, лежащая на вещественной оси). Пусть, далее, b — отличная от a точка пересечения прямой at с окружностью S. Докажите, что = (1 - ta)(t - a).

Прислать комментарий

Решение

Пусть a, b и c — комплексные числа, лежащие на единичной окружности с центром в нуле. Докажите, что комплексное число (a + b + c - bc) соответствует основанию высоты, опущенной из вершины a на сторону bc.

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что прямая, проходящая через точки a₁ и a₂, задаётся уравнением

z( - ) - (a₁ - a₂) + (a₁ - a₂) = 0.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 49]