Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Тема: Все темы >> Алгебра и арифметика >> Теория чисел. Делимость >> Простые числа и их свойства
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 22 задачи
Версия для печати
Убрать все задачи

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD ( S – вершина) сторона основания равна 4 , высота пирамиды SH равна 8. SE – апофема пирамиды, лежащая в грани ASD . Через точку C перпендикулярно прямой SE проходит плоскость, которая пересекает отрезок SH в точке O . Точки P и Q расположены на прямых SE и CB соответственно, причём прямая PQ касается сферы радиуса с центром в точке O . Найдите наименьшую длину отрезка PQ .

Вниз   Решение

Основанием пирамиды служит правильный шестиугольник ABCDEF , а её боковое ребро SA перпендикулярно плоскости основания. Расстояния от точек B и C до прямой SD равны соответственно и . а) Чему равна площадь треугольника ASD ? б) Найдите отношение наименьшей из площадей треугольных сечений пирамиды, проходящих через ребро SD , к площади треугольника ASD .

ВверхВниз   Решение

Дана геометрическая прогрессия, знаменатель которой — целое число (не равное 0 и -1). Докажите, что сумма любого числа произвольно выбранных её членов не может равняться никакому члену этой прогрессии.

ВверхВниз   Решение

Докажите, что  cos 2$ \alpha$ + cos 2$ \beta$ - cos 2$ \gamma$ $ \leq$ 3/2.

ВверхВниз   Решение

В семье шестеро детей. Пятеро из них соответственно на 2, 6, 8, 12 и 14 лет старше младшего, причём возраст каждого ребенка – простое число.
Сколько лет младшему?

ВверхВниз   Решение

Автор: Фольклор

Доказать, что существует бесконечно много таких пар  (a, b)  натуральных чисел, что  a² + 1  делится на b, а  b² + 1  делится на a.

ВверхВниз   Решение

Из медиан треугольника с углами  $ \alpha$,$ \beta$ и $ \gamma$ составлен треугольник с углами  $ \alpha_{m}^{}$,$ \beta_{m}^{}$ и $ \gamma_{m}^{}$ (угол $ \alpha_{m}^{}$ лежит против медианы AA1 и т. д.) Докажите, что если  $ \alpha$ > $ \beta$ > $ \gamma$, то  $ \alpha$ > $ \alpha_{m}^{}$,$ \alpha$ > $ \beta_{m}^{}$,$ \gamma_{m}^{}$ > $ \beta$ > $ \alpha_{m}^{}$,$ \beta_{m}^{}$ > $ \gamma$ и  $ \gamma_{m}^{}$ > $ \gamma$.

ВверхВниз   Решение

Поместить в полый куб с ребром a три цилиндра диаметра $ {\frac{a}{2}}$ и высоты a так, чтобы они не могли менять своего положения внутри куба.

ВверхВниз   Решение

Дана последовательность целых чисел, построенная следующим образом: a1 — произвольное трёхзначное число, a2 — сумма квадратов его цифр, a3 — сумма квадратов цифр числа a2 и т.д. Докажите, что в последовательности a1, a2, a3, ...обязательно встретится либо 1, либо 4.

ВверхВниз   Решение

Два человека A и B должны попасть как можно скорее из пункта M в пункт N, расположенный в 15 км от M. Пешком они могут передвигаться со скоростью 6 км/ч. Кроме того, в их распоряжении есть велосипед, на котором можно ехать со скоростью 15 км/ч. A отправляется в путь пешком, а B едет на велосипеде до встречи с пешеходом C, идущим из N и M. Дальше B идёт пешком, а C едет на велосипеде до встречи с A и передаёт ему велосипед, на котором тот и приезжает в N. Когда должен выйти из N пешеход C, чтобы время, затраченное A и B на дорогу в N, было наименьшим? (C идёт пешком с той же скоростью, что A и B; время, затраченное на дорогу, считается от момента выхода A и B из M до момента прибытия последнего из них в N.)

ВверхВниз   Решение

Из точки C проведены касательные CA и CB к окружности O. Из произвольной точки N окружности опущены перпендикуляры ND, NE, NF соответственно на прямые A, CA и CB. Докажите, что ND есть среднее геометрическое чисел NE и NF.

ВверхВниз   Решение

Докажите, что:
  а)  

  б)  

ВверхВниз   Решение

Даны числа 1, 2, 3, ..., 1000. Найдите наибольшее число m, обладающее таким свойством: какие бы m из данных чисел ни вычеркнуть, среди оставшихся  1000 – m  чисел найдутся два, из которых одно делится на другое.

ВверхВниз   Решение

Вписанная окружность касается сторон треугольника ABC в точках A1, B1 и C1. Докажите, что треугольник A1B1C1 остроугольный.

ВверхВниз   Решение

$ \Delta$ABC разбит прямой BD на два треугольника. Докажите, что сумма радиусов окружностей, вписанных в $ \Delta$ABD и $ \Delta$DBC, больше радиуса окружности, вписанной в $ \Delta$ABC.

ВверхВниз   Решение

Докажите, что если p – простое число и  1 ≤ k ≤ p – 1,  то    делится на p.

ВверхВниз   Решение

Из двухсот чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ..., 199, 200 произвольно выбрали сто одно число.
Доказать, что среди выбранных чисел найдутся два, из которых одно делится на другое.

ВверхВниз   Решение

Докажите, что ни при каком целом A многочлен  3x2n + Axn + 2  не делится на многочлен  2x2m + Axm + 3.

ВверхВниз   Решение

99 прямых разбивают плоскость на n частей. Найдите все возможные значения n, меньшие 199.

ВверхВниз   Решение

В равнобедренном треугольнике ABC  ∠ABC = 20°.  На равных сторонах CB и AB взяты соответственно точки P и Q так, что  ∠PAC = 50°  и  ∠QCA = 60°.
Докажите, что  ∠PQC = 30°.

ВверхВниз   Решение

Автор: Казицына Т.В.

Петров забронировал квартиру в доме-новостройке, в котором пять одинаковых подъездов. Изначально подъезды нумеровались слева направо, и квартира Петрова имела номер 636. Потом застройщик поменял нумерацию на противоположную (справа налево, см. рисунок). Тогда квартира Петрова стала иметь номер 242. Сколько квартир в доме? (Порядок нумерации квартир внутри подъезда не изменялся.)

ВверхВниз   Решение

p – простое число. Для каких чисел a решением сравнения  ax ≡ 1 (mod p)  будет само число a?

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 21 22 23 24 25 26 27 >> [Всего задач: 201]      

  с решениями  

Задача 60668

Темы:   [ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ]
[ Простые числа и их свойства ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10

Докажите, что если p – простое число и  1 ≤ k ≤ p – 1,  то    делится на p.

Прислать комментарий     Решение

Задача 60718

Темы:   [ Арифметика остатков (прочее) ]
[ Простые числа и их свойства ]
[ Разложение на множители ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10

p – простое число. Для каких чисел a решением сравнения  ax ≡ 1 (mod p)  будет само число a?

Прислать комментарий     Решение

Задача 66061

Темы:   [ Уравнения в целых числах ]
[ Простые числа и их свойства ]
[ Четность и нечетность ]
[ Симметрия помогает решить задачу ]
Сложность: 3
Классы: 6,7

Автор: Казицына Т.В.

Петров забронировал квартиру в доме-новостройке, в котором пять одинаковых подъездов. Изначально подъезды нумеровались слева направо, и квартира Петрова имела номер 636. Потом застройщик поменял нумерацию на противоположную (справа налево, см. рисунок). Тогда квартира Петрова стала иметь номер 242. Сколько квартир в доме? (Порядок нумерации квартир внутри подъезда не изменялся.)

Прислать комментарий     Решение

Задача 98653

Темы:   [ Делимость чисел. Общие свойства ]
[ Простые числа и их свойства ]
Сложность: 3
Классы: 6,7,8

В семье шестеро детей. Пятеро из них соответственно на 2, 6, 8, 12 и 14 лет старше младшего, причём возраст каждого ребенка – простое число.
Сколько лет младшему?

Прислать комментарий     Решение

Задача 102812

Темы:   [ Уравнения в целых числах ]
[ Простые числа и их свойства ]
Сложность: 3
Классы: 7,8

Найти все такие тройки простых чисел x, y, z, что  19x − yz = 1995.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 21 22 23 24 25 26 27 >> [Всего задач: 201]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .