Фильтр
Выбрано 13 задач Убрать все задачи
Имеется 30 человек, некоторые из них знакомы. Доказать, что число человек, имеющих нечётное число знакомых, чётно.
РешениеСуществует ли выпуклый многогранник, имеющий 12 рёбер, которые соответственно равны и параллельны 12 диагоналям граней куба?
РешениеВитя выложил из карточек с цифрами пример на сложение и затем поменял местами две карточки. Как видите, равенство нарушилось. Какие карточки переставил Витя?
РешениеПусть AE и CD – биссектрисы треугольника ABC, ∠BED = 2∠AED и ∠BDE = 2∠EDC. Докажите, что треугольник ABC – равнобедренный.
РешениеРешите уравнение
РешениеВ воздушном пространстве находятся облака. Оказалось, что пространство можно разбить десятью плоскостями на части так, чтобы в каждой из частей находилось не более одного облака. Через какое наибольшее число облаков мог пролететь самолет, придерживаясь прямолинейного курса?
РешениеДокажите, что числа Фибоначчи {Fn} удовлетворяют соотношению
Получите отсюда равенство
РешениеНа плоскости даны два равных многоугольника F и F'. Известно, что все вершины многоугольника F принадлежат F' (могут лежать внутри него или на границе). Верно ли, что все вершины этих многоугольников совпадают?
РешениеКвадрат ABCD вращается вокруг своего неподвижного центра. Найдите геометрическое место середин отрезков PQ, где P — основание перпендикуляра, опущенного из точки D на неподвижную прямую l, а Q — середина стороны AB.
РешениеДокажите равенство:
РешениеВписанная окружность треугольника ABC касается сторон BC, CA и AB в точках A', B' и C'. Известно, что AA' = BB' = CC'.
Обязательно ли треугольник ABC правильный?
Решениеn рыцарей из двух враждующих стран сидят за круглым столом. Число пар соседей-друзей равно числу пар соседей-врагов.
Доказать, что n делится на 4.
РешениеДана квадратная сетка на плоскости и треугольник с вершинами в узлах сетки. Докажите, что тангенс любого угла в треугольнике — число рациональное.
Решение
Задачи
Задача 58192 |
|
|
Докажите, что если вершины выпуклого n-угольника лежат в узлах клетчатой бумаги, а внутри и на его сторонах других узлов нет, то n ≤ 4.
|
|
Решение |
Задача 79344 |
|
|
В пространстве расположен выпуклый многогранник, все вершины которого находятся в целых точках. Других целых точек внутри, на гранях и на рёбрах нет. (Целой называется точка, все три координаты которой – целые числа.) Доказать, что число вершин многогранника не превосходит восьми.
|
|
|
Решение |
Задача 116281 |
|
|
В пространстве с декартовой системой координат дан прямоугольный параллелепипед, вершины которого имеют целочисленные координаты. Его объём равен 2011. Докажите, что рёбра параллелепипеда параллельны координатным осям.
|
|
|
Решение |
Задача 60866 |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 64316 |
|
|
Квадрат с вершинами в узлах сетки и сторонами длиной 2009, идущими по линиям сетки, разрезали по линиям сетки на несколько прямоугольников.
Докажите, что среди них есть хотя бы один прямоугольник, периметр которого делится на 4.
|
|
|
Решение |
Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 49]
