Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Тема: Все темы >> Математический анализ >> Производная >> Производная и кратные корни
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 17 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

В пространстве построена замкнутая ломаная так, что все звенья имеют одинаковую длину и каждые три последовательных звена попарно перпендикулярны. Доказать, что число звеньев делится на 6.

Вниз   Решение

Решите уравнение $2x^x=\sqrt{2}$ в положительных числах.

ВверхВниз   Решение

Толя выложил в ряд 101 монету достоинством 1, 2 и 3 копейки. Оказалось, что между каждыми двумя копеечными монетами лежит хотя бы одна монета, между каждыми двумя двухкопеечными монетами лежат хотя бы две монеты, а между каждыми двумя трёхкопеечными монетами лежат хотя бы три монеты. Сколько трёхкопеечных монет могло быть у Толи?

ВверхВниз   Решение

Вавилонский алгоритм вычисления $ \sqrt{2}$. Последовательность чисел {xn} задана условиями:

x1 = 1,        xn + 1 = $\displaystyle {\textstyle\dfrac{1}{2}}$$\displaystyle \left(\vphantom{x_n+\frac{2}{x_n}}\right.$xn + $\displaystyle {\frac{2}{x_n}}$$\displaystyle \left.\vphantom{x_n+\frac{2}{x_n}}\right)$        (n $\displaystyle \geqslant$ 1).

Докажите, что $ \lim\limits_{n\to\infty}^{}$xn = $ \sqrt{2}$.

ВверхВниз   Решение

Геометрической интерпретацией итерационного процесса служит итерационная ломаная. Для ее построения на плоскости Oxy рисуется график функции f(x) и проводится биссектриса координатного угла — прямая y=x. Затем на графике функции отмечаются точки A0(x0,f(x0)), A1(x1,f(x1)),..., An(xn,f(xn)),... а на биссектрисе координатного угла — точки B0(x0,x0), B1(x1,x1),..., Bn(xn,xn),... Ломаная B0A0B1A1... BnAn... называется итерационной.
Постройте итерационные ломаные для следующих данных:
а) f (x) = 1 + $ {\dfrac{x}{2}}$,    x0 = 0, x0 = 8;
б) f (x) = $ {\dfrac{1}{x}}$,    x0 = 2;
в) f (x) = 2x - 1,    x0 = 0, x0 = 1, 125;
г) f (x) = - $ {\dfrac{3x}{2}}$ + 6,     x0 = $ {\dfrac{5}{2}}$;
д) f (x) = x2 + 3x - 3,    x0 = 1, x0 = 0, 99, x0 = 1, 01;
е) f (x) = $ \sqrt{1+x}$,    x0 = 0, x0 = 8;
ж) f (x) = $ {\dfrac{x^3}{3}}$ - $ {\dfrac{5x^2}{2}}$ + $ {\dfrac{25x}{6}}$ + 3,     x0 = 3.

ВверхВниз   Решение

Автор: Фольклор

Две точки окружности соединили ломаной, длина которой меньше диаметра окружности.
Докажите, что существует диаметр, не пересекающий эту ломаную.

ВверхВниз   Решение

В ряд записаны 20 различных натуральных чисел. Произведение каждых двух из них, стоящих подряд, является квадратом натурального числа. Первое число равно 42. Докажите, что хотя бы одно из чисел больше чем 16000.

ВверхВниз   Решение

Решите уравнение xx4 = 4 (x > 0).

ВверхВниз   Решение

С помощью циркуля и линейки постройте параллелограмм по углу и диагоналям.

ВверхВниз   Решение

Две окружности пересекаются в точках A и B. Через точку A проведены диаметры AC и AD этих окружностей. Найдите сумму отрезков BC и BD, если расстояние между центрами окружностей равно a, а центры окружностей лежат по разные стороны от общей хорды AB.

ВверхВниз   Решение

Автор: Васильев Н.Б.

Рассматриваются всевозможные шестизвенные замкнутые ломаные, все вершины которых лежат на окружности.
  а) Нарисуйте такую ломаную, которая имеет наибольшее возможное число точек самопересечения.
  б) Докажите, что большего числа самопересечений такая ломаная не может иметь.

ВверхВниз   Решение

Рассмотрим все остроугольные треугольники с заданными стороной a и углом α.
Чему равен максимум суммы квадратов длин сторон b и c?

ВверхВниз   Решение

Найдите остаток от деления 2100 на 3.

ВверхВниз   Решение

В городе Маленьком 15 телефонов. Можно ли их соединить проводами так, чтобы было четыре телефона, каждый из которых соединен с тремя другими, восемь телефонов, каждый из которых соединен с шестью, и три телефона, каждый из которых соединен с пятью другими?

ВверхВниз   Решение

Найдите все натуральные числа, при делении которых на 7 в частном получится то же число, что и в остатке.

ВверхВниз   Решение

При делении некоторого числа m на 13 и 15 получили одинаковые частные, но первое деление было с остатком 8, а второе без остатка.
Найдите число m.

ВверхВниз   Решение

Докажите, что при  n > 0  многочлен  nxn+1 – (n + 1)x n  + 1  делится на  (x – 1)2.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: 1 2 3 4 >> [Всего задач: 19]      

  с решениями  

Задача 111923

Темы:   [ Производная и кратные корни ]
[ Производная и экстремумы ]
Сложность: 3
Классы: 10,11

Автор: Сергеев И.Н.

Когда из бассейна сливают воду, уровень h воды в нём меняется в зависимости от времени t по закону

h(t)=at2+bt+c,

а в момент t0 окончания слива выполнены равенства h(t0)=h'(t0)=0 . За сколько часов вода из бассейна сливается полностью, если за первый час уровень воды в нём уменьшается вдвое?
Прислать комментарий     Решение

Задача 61019

Темы:   [ Производная и кратные корни ]
[ Деление многочленов с остатком. НОД и НОК многочленов ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11

Для данного многочлена P(x) опишем способ, который позволяет построить многочлен R(x), который имеет те же корни, что и P(x), но все кратности 1. Положим  Q(x) = (P(x), P'(x))  и  R(x) = P(x)Q–1(x).  Докажите, что
  а) все корни многочлена P(x) будут корнями R(x);
  б) многочлен R(x) не имеет кратных корней.

Прислать комментарий     Решение

Задача 61020

Темы:   [ Производная и кратные корни ]
[ Деление многочленов с остатком. НОД и НОК многочленов ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11

Постройте многочлен R(x) из задачи 61019, если:
  а)  P(x) = x6 – 6x4 – 4x3 + 9x2 + 12x + 4;
  б)  P(x) = x5 + x4 – 2x3 – 2x2 + x + 1.

Прислать комментарий     Решение

Задача 61025

Тема:   [ Производная и кратные корни ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

Докажите, что при  n > 0  многочлен  nxn+1 – (n + 1)x n  + 1  делится на  (x – 1)2.

Прислать комментарий     Решение

Задача 64410

Тема:   [ Производная и кратные корни ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11

Докажите, что при  n > 0  многочлен  P(x) = n²xn+2 – (2n² + 2n – 1)xn+1 + (n + 1)²xn – x – 1  делится на  (x – 1)³.

Прислать комментарий     Решение

Страница: 1 2 3 4 >> [Всего задач: 19]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .