Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Тема: Все темы >> Математический анализ >> Функции нескольких переменных
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 19 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Автор: Толпыго А.К.

Шестизначное число начинается с цифры 5. Верно ли, что к нему всегда можно приписать справа шесть цифр так, чтобы получился полный квадрат?

Вниз   Решение

Как разделить блинчик тремя прямолинейными разрезами на 4, 5, 6, 7 частей?

ВверхВниз   Решение

Докажите, что если каждое из двух чисел является суммой квадратов двух целых чисел, то и их произведение является суммой квадратов двух целых чисел.

ВверхВниз   Решение

Автор: Меньщиков А.Б.

За круглым столом сидят 10 человек, каждый из которых либо рыцарь, который всегда говорит правду, либо лжец, который всегда лжёт. Двое из них заявили: "Оба моих соседа – лжецы", а остальные восемь заявили: "Оба моих соседа – рыцари". Сколько рыцарей могло быть среди этих 10 человек?

ВверхВниз   Решение

Автор: Женодаров Р.Г.

Найдите наименьшее натуральное число, кратное 99, в десятичной записи которого участвуют только чётные цифры.

ВверхВниз   Решение

Автор: Обухов Б.

Дан выпуклый пятиугольник ABCDE, все стороны которого равны между собой. Известно, что угол A равен 120°, угол C равен 135°, а угол D равен n°.
Найдите все возможные целые значения n.

ВверхВниз   Решение

Автор: Митрофанов И.В.

Можно ли число 1/10 представить в виде произведения десяти положительных правильных дробей?

ВверхВниз   Решение

Автор: Бакаев Е.В.

На медиане AM треугольника ABC нашлась такая точка K, что  AK = BM.  Кроме того,  ∠AMC = 60°.  Докажите, что  AC = BK.

ВверхВниз   Решение

Автор: Гальперин Г.А.

Каждой паре чисел x и y поставлено в соответствие некоторое число x*y. Найдите 1993*1935, если известно, что для любых трёх чисел x, y, z  выполнены тождества:  x*x = 0  и  x*(y*z) = (x*y) + z.

ВверхВниз   Решение

Авторы: Дольников В.Л., Карасев Р.

На плоскости нарисовано некоторое семейство S правильных треугольников, получающихся друг из друга параллельными переносами, причем любые два треугольника пересекаются. Докажите, что найдутся три точки такие, что любой треугольник семейства S содержит хотя бы одну из них.

ВверхВниз   Решение

Авторы: Дольников В.Л., Карасев Р.

На плоскости дано конечное множество точек X и правильный треугольник T . Известно, что любое подмножество X' множества X , состоящее из не более 9 точек, можно покрыть двумя параллельными переносами треугольника T . Докажите, что все множество X можно покрыть двумя параллельными переносами T .

ВверхВниз   Решение

Докажите, что сумма квадратов всех рёбер тетраэдра равна учетверённой сумме квадратов расстояний между серединами его противоположных рёбер.

ВверхВниз   Решение

Три отрезка, не лежащие в одной плоскости, пересекаются в одной точке и делятся ею пополам. Докажите, что существуют ровно два тетраэдра, в которых эти отрезки соединяют середины противоположных рёбер.

ВверхВниз   Решение

Известно, что в тетраэдре ABCD ребро AB перпендикулярно ребру CD , а ребро BC перпендикулярно ребру AD . Докажите, что ребро AC перпендикулярно ребру BD .

ВверхВниз   Решение

Докажите, что противоположные рёбра тетраэдра ABCD попарно перпендикулярны тогда и только тогда, когда

AB2 + CD2 = AC2 + BD2 = AD2 + BC2.

ВверхВниз   Решение

Найдите отношение объёмов параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 и тетраэдра ACB1D1 .

ВверхВниз   Решение

Автор: Гальперин Г.А.

Задано правило, которое каждой паре чисел x, y ставит в соответствие некоторое число x*y, причём для любых x, y, z выполняются тождества:
  1)  x*x = 0,
  2)  x*(y*z) = (x*y) + z.
Найдите 1993*1932.

ВверхВниз   Решение

Дискретная теорема Лиувилля. Пусть f (x, y) — ограниченная гармоническая (определение смотри в задаче 11.28) функция, то есть существует положительная константа M такая, что

$\displaystyle \forall$(x, y) $\displaystyle \in$ $\displaystyle \mathbb {Z}$2    | f (x, y)| $\displaystyle \leqslant$ M.

Докажите, что функция f (x, y) равна константе.

ВверхВниз   Решение

Определение. Пусть функция f (x, y) задана во всех точках плоскости с целыми координатами. Назовем функцию f (x, y) гармонической, если ее значение в каждой точке равно среднему арифметическому значений функции в четырех соседних точках, то есть:
f (x, y)=1/4(f (x+1, y)+ f (x-1, y)+f (x, y+1) + f (x, y-1)).
Пусть f (x, y) и g(x, y) — гармонические функции. Докажите, что для любых a и b функция af (x, y) + bg(x, y) также будет гармонической.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: 1 [Всего задач: 5]      

  с решениями  

Задача 61455

Тема:   [ Функции нескольких переменных ]
Сложность: 2+
Классы: 8,9,10,11

Определение. Пусть функция f (x, y) задана во всех точках плоскости с целыми координатами. Назовем функцию f (x, y) гармонической, если ее значение в каждой точке равно среднему арифметическому значений функции в четырех соседних точках, то есть:
f (x, y)=1/4(f (x+1, y)+ f (x-1, y)+f (x, y+1) + f (x, y-1)).
Пусть f (x, y) и g(x, y) — гармонические функции. Докажите, что для любых a и b функция af (x, y) + bg(x, y) также будет гармонической.

Прислать комментарий     Решение

Задача 61456

Тема:   [ Функции нескольких переменных ]
Сложность: 3-
Классы: 8,9,10,11

Пусть f (x, y) — гармоническая функция (определение смотри в задаче 11.28). Докажите, что функции $ \Delta_{x}^{}$f (x, y) = f (x + 1, y) - f (x, y) и $ \Delta_{y}^{}$f (x, y) = f (x, y + 1) - f (x, y) также будут гармоническими.

Прислать комментарий     Решение

Задача 107987

Темы:   [ Функции нескольких переменных ]
[ Тождественные преобразования ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Автор: Гальперин Г.А.

Каждой паре чисел x и y поставлено в соответствие некоторое число x*y. Найдите 1993*1935, если известно, что для любых трёх чисел x, y, z  выполнены тождества:  x*x = 0  и  x*(y*z) = (x*y) + z.

Прислать комментарий     Решение

Задача 61457

 [Дискретная теорема Лиувилля]
Тема:   [ Функции нескольких переменных ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10,11

Дискретная теорема Лиувилля. Пусть f (x, y) — ограниченная гармоническая (определение смотри в задаче 11.28) функция, то есть существует положительная константа M такая, что

$\displaystyle \forall$(x, y) $\displaystyle \in$ $\displaystyle \mathbb {Z}$2    | f (x, y)| $\displaystyle \leqslant$ M.

Докажите, что функция f (x, y) равна константе.
Прислать комментарий     Решение

Задача 98169

Темы:   [ Арифметические действия. Числовые тождества ]
[ Характеристические свойства и рекуррентные соотношения ]
[ Функции нескольких переменных ]
Сложность: 4-
Классы: 6,7,8

Автор: Гальперин Г.А.

Задано правило, которое каждой паре чисел x, y ставит в соответствие некоторое число x*y, причём для любых x, y, z выполняются тождества:
  1)  x*x = 0,
  2)  x*(y*z) = (x*y) + z.
Найдите 1993*1932.

Прислать комментарий     Решение

Страница: 1 [Всего задач: 5]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .