Фильтр
Выбрано 6 задач
Версия для печати
Убрать все задачи
Пусть характеристическое уравнение ( 11.3) последовательности {an} имеет два различных корня x1 и x2. Докажите, что при фиксированных a0, a1 существует ровно одна пара чисел c1, c2 такая, что
Решение
Решение
Решение
Замкнутая, возможно, самопересекающаяся ломаная симметрична относительно не лежащей на ней точки $O$. Докажите, что число оборотов ломаной вокруг $O$ нечётно. (Числом оборотов вокруг $O$ называется сумма ориентированных углов $$\angle A_1OA_2+\angle A_2OA_3+\ldots+\angle A_{n-1}OA_n+\angle A_nOA_1,$$ делённая на $2\pi$.) Решение
Дана пирамида АВСD (см. рис.). Известно, что
ADB = DBC;
ABD = BDC;
BAD = ABC.
Найдите площадь поверхности пирамиды (сумму площадей четырех треугольников), если площадь треугольника АВС равна 10 см2.
Решение
Дискретная теорема Лиувилля. Пусть f (x, y) — ограниченная гармоническая (определение смотри в задаче 11.28) функция, то есть существует положительная константа M такая, что
(x, y) 
2 | f (x, y)| 
M.
Докажите, что
функция f (x, y) равна константе.
Решение
Убрать все задачи
Пусть характеристическое уравнение ( 11.3) последовательности {an} имеет два различных корня x1 и x2. Докажите, что при фиксированных a0, a1 существует ровно одна пара чисел c1, c2 такая, что
an = c1x1n + c2x2n (n = 0, 1, 2,...).
РешениеПешеход обошёл шесть улиц одного города, пройдя каждую ровно два раза, но не смог обойти их, пройдя каждую лишь раз. Могло ли это быть?
РешениеВ написанном на доске примере на умножение хулиган Петя исправил две цифры.
Получилось 4·5·4·5·4 = 2247.
Восстановите исходный пример.
РешениеЗамкнутая, возможно, самопересекающаяся ломаная симметрична относительно не лежащей на ней точки $O$. Докажите, что число оборотов ломаной вокруг $O$ нечётно. (Числом оборотов вокруг $O$ называется сумма ориентированных углов $$\angle A_1OA_2+\angle A_2OA_3+\ldots+\angle A_{n-1}OA_n+\angle A_nOA_1,$$ делённая на $2\pi$.)
РешениеДана пирамида АВСD (см. рис.). Известно, что
Найдите площадь поверхности пирамиды (сумму площадей четырех треугольников), если площадь треугольника АВС равна 10 см2.
РешениеДискретная теорема Лиувилля. Пусть f (x, y) — ограниченная гармоническая (определение смотри в задаче 11.28) функция, то есть существует положительная константа M такая, что
Решение
Задачи
Страница: 1 [Всего задач: 5]
Определение. Пусть функция f (x, y) задана во всех
точках плоскости с целыми координатами. Назовем функцию f (x, y) гармонической, если ее значение в каждой точке равно среднему арифметическому значений функции в четырех соседних точках, то есть:
f (x, y)=1/4(f (x+1, y)+ f (x-1, y)+f (x, y+1) + f (x, y-1)).
Пусть f (x, y) и g(x, y) — гармонические функции. Докажите, что для любых a и b функция af (x, y) + bg(x, y) также будет гармонической.
Пусть f (x, y) — гармоническая функция
(определение смотри в задаче 11.28). Докажите, что
функции
f (x, y) = f (x + 1, y) - f (x, y) и
f (x, y) = f (x, y + 1) - f (x, y) также будут гармоническими.
Дискретная теорема
Лиувилля.
Пусть f (x, y) —
ограниченная гармоническая (определение смотри в задаче 11.28) функция, то есть существует
положительная константа M такая, что
(x, y) 2 | f (x, y)| M.
Докажите, что
функция f (x, y) равна константе.
Страница: 1 [Всего задач: 5]
Задача 61455 |
|
|
f (x, y)=1/4(f (x+1, y)+ f (x-1, y)+f (x, y+1) + f (x, y-1)).
Пусть f (x, y) и g(x, y) — гармонические функции. Докажите, что для любых a и b функция af (x, y) + bg(x, y) также будет гармонической.
|
|
Решение |
Задача 61456 |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 107987 |
|
|
Каждой паре чисел x и y поставлено в соответствие некоторое число x*y. Найдите 1993*1935, если известно, что для любых трёх чисел x, y, z выполнены тождества: x*x = 0 и x*(y*z) = (x*y) + z.
|
|
|
Решение |
Задача 61457[Дискретная теорема Лиувилля] |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 98169 |
|
|
Задано правило, которое каждой паре чисел x, y ставит в соответствие некоторое число x*y, причём для любых x, y, z выполняются тождества:
1) x*x = 0,
2) x*(y*z) = (x*y) + z.
Найдите 1993*1932.
|
|
|
Решение |
Страница: 1 [Всего задач: 5]
