Каталог по темам

Задачи

Страница: << 37 38 39 40 41 42 43 >> [Всего задач: 829]

Задача 64403

Темы:	[	Три прямые, пересекающиеся в одной точке	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Отношение, в котором биссектриса делит сторону	]
	[	Выход в пространство	]
	[	Окружность Аполлония	]
	[	Теоремы Чевы и Менелая	]
	[	Теорема синусов	]

Сложность: 4+

Автор: Карлюченко А.

Пусть X – такая точка внутри треугольника ABC, что XA·BC = XB·AC = XC·AB; I₁, I₂, I₃ – центры вписанных окружностей треугольников XBC, XCA и XAB соответственно. Докажите, что прямые AI₁, BI₂ и CI₃ пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

Задача 64475

Темы:	[	Три точки, лежащие на одной прямой	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]

Сложность: 4+
Классы: 10,11

Автор: Ясинский В.

На стороне AB треугольника ABC взята произвольная точка C₁. Точки A₁, B₁ на лучах BC и AC таковы, что ∠AC₁B₁ = ∠BC₁A₁ = ∠ACB. Прямые AA₁ и BB₁ пересекаются в точке C₂. Докажите, что все прямые C₁C₂ проходят через одну точку.

Прислать комментарий

Решение

Задача 64879

Темы:	[	Три точки, лежащие на одной прямой	]
	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
	[	Радикальная ось	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Автор: Прокопенко Д.

Из некоторой точки D в плоскости треугольника ABC провели прямые, перпендикулярные к отрезкам DA, DB, DC, которые пересекают прямые BC, AC, AB в точках A₁, B₁, C₁ соответственно. Докажите, что середины отрезков AA₁, BB₁, CC₁ лежат на одной прямой.

Прислать комментарий

Решение

Задача 108202

Темы:	[	Три точки, лежащие на одной прямой	]
	[	Конкуррентность высот. Углы между высотами.	]
	[	Вспомогательная окружность	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Вписанный угол, опирающийся на диаметр	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9

Автор: Сонкин М.

Окружность с центром O вписана в треугольник ABC и касается его сторон AB, BC и AC в точках E, F и D соответственно. Прямые AO и CO пересекают прямую EF в точках M и N. Докажите, что центр окружности, описанной около треугольника OMN, точка O и точка D лежат на одной прямой.

Прислать комментарий

Решение

Задача 67102

Темы:	[	Три прямые, пересекающиеся в одной точке	]
	[	Изогональное сопряжение	]
	[	Теорема Паскаля	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Автор: Кухарчук И.

В треугольнике $ABC$ выбрана точка $P$. Лучи с началом в точке $P$, пересекающие под прямым углом стороны $BC$, $AC$, $AB$, пересекают описанную окружность в точках $A_1$, $B_1$, $C_1$ соответственно. Оказалось, что прямые $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ пересекаются в одной точке $Q$. Докажите, что все такие прямые $PQ$ пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 37 38 39 40 41 42 43 >> [Всего задач: 829]